Nos seguintes itens, encontre o polinomio de Taylor associado à funçao f de grau n no ponto a, onde
f(x)=e^x, n=5, a=0

Passo 1

O enunciado pede o polinômio de Taylor de grau n=5 para a função f(x)=e^x centrado em a=0. O conteúdo necessário é o conceito de polinômio de Taylor/Maclaurin e o cálculo das derivadas de e^x.

Passo 2

A fórmula geral do polinômio de Taylor de grau n de uma função f em torno de a é
Tn(x) ;=;sumk=0^nf^(k)(a)k!,(x-a)^k

Passo 3

Como f(x)=e^x, todas as derivadas são
f^(k)(x)=e^x,
logo em a=0 temos
f^(k)(0)=e^0=1
para todo k.

Passo 4

Substituindo f^(k)(0)=1, a=0 e n=5 na fórmula do passo 2, obtemos
T5(x) =sumk=0^51k!,x^k =1+x+x^22!+x^33!+x^44!+x^55!

Resposta

T5(x)=1 + x + x^22 + x^36 + x^424 + x^5120

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