Encontre uma soluçăo particular para cada equaçăo abaixo e escreva a soluçâo geral da mesma.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
. A matéria que a gente vai usar aqui é a de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral, que é composta pela solução da equação homogênea (
) e uma solução particular da equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea:
. Isso significa que estamos encontrando a parte da solução que não depende do termo
.
Passo 3
Para resolver a equação homogênea, a gente usa a equação característica. Substituímos
por
,
por
, e
por 1, ficando:
Passo 4
Agora, vamos resolver essa equação quadrática:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as raízes são:
Passo 5
Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
Aqui,
Passo 6
Agora, vamos encontrar uma solução particular (
) para a equação completa
. Como o lado direito é
, vamos tentar uma solução particular da forma:
Onde
Passo 7
Vamos substituir
na equação original:
Substituindo na equação:
Ops! Isso dá
Passo 8
Vamos substituir de novo na equação:
Substituindo na equação original:
Então,
Resposta
A solução geral da equação
é:
Onde