Encontre uma soluçăo particular para cada equaçăo abaixo e escreva a soluçâo geral da mesma.
3 y^prime prime-y^prime-2 y=e^x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial: 3 y'' - y' - 2 y = e^x. A matéria que a gente vai usar aqui é a de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral, que é composta pela solução da equação homogênea ( 3 y'' - y' - 2 y = 0) e uma solução particular da equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea: 3 y'' - y' - 2 y = 0. Isso significa que estamos encontrando a parte da solução que não depende do termo e^x.

Passo 3

Para resolver a equação homogênea, a gente usa a equação característica. Substituímos y'' por r^2, y' por r, e y por 1, ficando:
3 r^2 - r - 2 = 0

Passo 4

Agora, vamos resolver essa equação quadrática:
3 r^2 - r - 2 = 0
Usando a fórmula de Bhaskara:
r = 1 pm raiz1 + 246 = 1 pm 56
Então, as raízes são:
r1 = 1 e r2 = -23

Passo 5

Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
yh = C1 e^r1 x + C2 e^r2 x = C1 e^x + C2 e^-23x
Aqui, C1 e C2 são constantes que vão ser determinadas pelas condições iniciais, se houver.

Passo 6

Agora, vamos encontrar uma solução particular ( yp) para a equação completa 3 y'' - y' - 2 y = e^x. Como o lado direito é e^x, vamos tentar uma solução particular da forma:
yp = A e^x
Onde A é uma constante que vamos descobrir.

Passo 7

Vamos substituir yp na equação original:
yp' = A e^x
yp'' = A e^x
Substituindo na equação:
3(A e^x) - (A e^x) - 2(A e^x) = e^x
3A e^x - A e^x - 2A e^x = e^x
0 = e^x
Ops! Isso dá 0 = e^x, que não faz sentido. Isso acontece porque e^x já é parte da solução homogênea. Quando isso ocorre, multiplicamos nossa tentativa por x. Então, vamos tentar:
yp = A x e^x

Passo 8

Vamos substituir de novo na equação:
yp = A x e^x
yp' = A e^x + A x e^x
yp'' = 2A e^x + A x e^x
Substituindo na equação original:
3(2A e^x + A x e^x) - (A e^x + A x e^x) - 2(A x e^x) = e^x
6A e^x + 3A x e^x - A e^x - A x e^x - 2A x e^x = e^x
5A e^x = e^x
Então, 5A = 1, logo A = 15. Portanto, a solução particular é:
yp = 15 x e^x

Resposta

A solução geral da equação 3 y'' - y' - 2 y = e^x é:
y = yh + yp = C1 e^x + C2 e^-23x + 15 x e^x
Onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

Exercícios relacionados