Resolva a equação de Bernoulli.
Passo 1
Então, o que a gente tem aqui é uma equação chamada Equação de Bernoulli. Basicamente, é uma equação diferencial onde a gente precisa encontrar a função $ y(x) $ que satisfaz a relação dada. Para resolver essa equação, vamos precisar usar uma técnica de substituição que transforma a equação de Bernoulli em uma equação linear mais fácil de resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação no formato padrão da Equação de Bernoulli. A equação que temos é:
Aqui, $ y’ $ representa a derivada de $ y $ em relação a $ x $.
Passo 3
Agora, para resolver essa equação, precisamos fazer uma substituição que simplifique a equação para uma forma linear. Vamos definir:
Onde $ n = 2 $ (pois o termo $ y $ está elevado ao quadrado). Então:
Agora, derivamos $ v $ em relação a $ x $:
Ou seja:
Passo 4
Substituímos $ \frac{dy}{dx} $ na equação original:
Dividindo todos os termos por $ y^{2} $:
Lembrando que $ v = y^{-1} $, temos:
Rearranjando:
Agora, essa é uma equação linear que podemos resolver usando um fator integrante. O fator integrante $ \mu(x) $ é:
Multiplicamos toda a equação por $ \mu(x) $:
Isso simplifica para:
Integrando ambos os lados:
Onde $ C $ é a constante de integração. Então:
Passo 5
Lembrando que $ v = y^{-1} $, substituímos de volta:
Inverter para encontrar $ y $:
Simplificando:
Resposta
A solução geral da equação é: