Resolva a equação de Bernoulli.
y+y=e^x y^2

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é uma equação chamada Equação de Bernoulli. Basicamente, é uma equação diferencial onde a gente precisa encontrar a função $ y(x) $ que satisfaz a relação dada. Para resolver essa equação, vamos precisar usar uma técnica de substituição que transforma a equação de Bernoulli em uma equação linear mais fácil de resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação no formato padrão da Equação de Bernoulli. A equação que temos é:
y' + y = e^x y^2
Aqui, $ y’ $ representa a derivada de $ y $ em relação a $ x $.

Passo 3

Agora, para resolver essa equação, precisamos fazer uma substituição que simplifique a equação para uma forma linear. Vamos definir:
v = y^1 - n
Onde $ n = 2 $ (pois o termo $ y $ está elevado ao quadrado). Então:
n = 2
Agora, derivamos $ v $ em relação a $ x $:
y
Ou seja:
v = y^-1

Passo 4

Substituímos $ \frac{dy}{dx} $ na equação original:
dydx
Dividindo todos os termos por $ y^{2} $:
-y^2 dvdx + y = e^x y^2
Lembrando que $ v = y^{-1} $, temos:
y^2
Rearranjando:
- dvdx + y^-1 = e^x
Agora, essa é uma equação linear que podemos resolver usando um fator integrante. O fator integrante $ \mu(x) $ é:
v = y^-1
Multiplicamos toda a equação por $ \mu(x) $:
- dvdx + v = e^x
Isso simplifica para:
dvdx - v = -e^x
Integrando ambos os lados:
mu(x)
Onde $ C $ é a constante de integração. Então:
mu(x) = e^-integral 1 , dx = e^-x

Passo 5

Lembrando que $ v = y^{-1} $, substituímos de volta:
v = y^-1
Inverter para encontrar $ y $:
y^-1 = -e^x x + C e^x
Simplificando:
y

Resposta

A solução geral da equação é:
y(x) = e^-xC - x

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