Para a equação diferencial abaixo, ache um fator integrante e resolva a equação.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
e, para isso, vamos usar o conteúdo de equações diferenciais exatas e fator integrante. Precisaremos reescrever a equação na forma
, testar exatidão e, se não for exata, encontrar um fator integrante.
Passo 2
Reescrevendo a equação em forma diferencial multiplicando ambos os lados por
:
logo
e
.
Passo 3
Testamos exatidão calculando as derivadas parciais:
Como
, não é exata. Para ver se existe fator integrante de
só, usamos
que depende apenas de
. Então
Passo 4
Multiplicamos a equação original por
:
Chamando agora
verificamos que
ou seja, a equação tornou-se exata.
Passo 5
Buscamos então uma função potencial
tal que
e
.
Integrando em relação a
:
Integrando
Derivando isso em relação a
:
á nos dá
, logo
é constante.
Passo 6
A solução geral fica então dada por
ou, de forma explícita,
Resposta
A equação geral da solução é
onde