Para a equação diferencial abaixo, ache um fator integrante e resolva a equação.
x^2+2 y-x d yd x=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial x^2+2y - xtfracdydx=0 e, para isso, vamos usar o conteúdo de equações diferenciais exatas e fator integrante. Precisaremos reescrever a equação na forma M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0, testar exatidão e, se não for exata, encontrar um fator integrante.

Passo 2

Reescrevendo a equação em forma diferencial multiplicando ambos os lados por dx:
(x^2 + 2y),dx - x,dy = 0,
logo M(x,y)=x^2+2y e N(x,y)=-x.

Passo 3

Testamos exatidão calculando as derivadas parciais:
partial Mpartial y=2, partial Npartial x=-1
Como 2 neq -1, não é exata. Para ver se existe fator integrante de x só, usamos
tfracpartial Mpartial y-tfracpartial Npartial xN =2-(-1)-x=-3x,
que depende apenas de x. Então
mu(x)=e^integral -3/x,dx=x^-3

Passo 4

Multiplicamos a equação original por mu(x)=x^-3:
l(1x + 2yx^3r)dx - 1x^2dy = 0
Chamando agora
M^*(x,y)=1x+2yx^3, N^*(x,y)=-1x^2,
verificamos que
partial M^*partial y=2x^3, partial N^*partial x=2x^3,
ou seja, a equação tornou-se exata.

Passo 5

Buscamos então uma função potencial phi(x,y) tal que
phix = M^* e phiy = N^*.
Integrando phix = tfrac1x + tfrac2yx^3 em relação a x:
phi(x,y)=integral l(1x+2yx^3r)dx =ln|x| - yx^2 + h(y)
Derivando isso em relação a y:
phiy = -1x^2 + h'(y) stackrel!= -1x^2
á nos dá h'(y)=0, logo h(y) é constante.

Passo 6

A solução geral fica então dada por
phi(x,y)=ln|x| - yx^2 = C,
ou, de forma explícita,
y = x^2l(ln|x| + C1r)

Resposta

A equação geral da solução é
y = x^2l(ln|x| + Cr),
onde C é constante de integração e o fator integrante encontrado foi mu(x)=x^-3.

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