Seja
contínua em
, diferenciável em
, com
e
. Determine as afirmativas verdadeiras:
Escolha uma ou mais:
O Teorema de Rolle pode ser aplicado nessa função.
Escolha uma ou mais:
O Teorema de Rolle pode ser aplicado nessa função.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma função $ f $ definida no intervalo
, que é contínua nesse intervalo e diferenciável entre
e
. Sabemos que $ f(-1) = -1 $ e $ f(2) = 5 $. A pergunta é: O Teorema de Rolle pode ser aplicado nessa função?
Vamos precisar entender o que é o Teorema de Rolle e quais são as condições para usá-lo.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o Teorema de Rolle. Esse teorema diz o seguinte:
Se uma função $ g $ é contínua no intervalo fechado
, diferenciável no intervalo aberto
, e $ g(a) = g(b) $, então existe pelo menos um ponto $ c $ em
onde a derivada de $ g $ é zero, ou seja, $ g’© = 0 $.
Resumindo, o Teorema de Rolle garante que, se a função começa e termina com o mesmo valor no intervalo e é contínua e diferenciável no intervalo, então ela tem um ponto de máximo ou mínimo (ou seja, onde a inclinação é zero) dentro desse intervalo.
Passo 3
Agora, vamos ver se as condições do Teorema de Rolle estão satisfeitas para a função $ f $:
-
Continuidade no intervalo fechado
: Sim, foi dado que $ f $ é contínua em . -
Diferenciabilidade no intervalo aberto
: Sim, também foi informado que $ f $ é diferenciável em . -
$ f(-1) = f(2) $: Aqui está o problema. Temos que $ f(-1) = -1 $ e $ f(2) = 5 $. Esses valores são diferentes.
Passo 4
Como o Teorema de Rolle exige que $ f(a) = f(b) $, e no nosso caso $ f(-1) \neq f(2) $, isso significa que uma das condições do teorema não está sendo atendida.
Passo 5
Portanto, não podemos aplicar o Teorema de Rolle a essa função, já que uma das condições essenciais não é satisfeita.
Resposta
Falso. O Teorema de Rolle não pode ser aplicado nessa função porque $ f(-1) \neq f(2) $.