Seja f:[-1,2] R contínua em [-1,2], diferenciável em (-1,2), com f(-1)=-1 e f(2)=5. Determine as afirmativas verdadeiras:
Escolha uma ou mais:
O Teorema de Rolle pode ser aplicado nessa função.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma função $ f $ definida no intervalo f , que é contínua nesse intervalo e diferenciável entre [-1, 2] e -1. Sabemos que $ f(-1) = -1 $ e $ f(2) = 5 $. A pergunta é: O Teorema de Rolle pode ser aplicado nessa função?
Vamos precisar entender o que é o Teorema de Rolle e quais são as condições para usá-lo.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o Teorema de Rolle. Esse teorema diz o seguinte:
Se uma função $ g $ é contínua no intervalo fechado g , diferenciável no intervalo aberto [a, b], e $ g(a) = g(b) $, então existe pelo menos um ponto $ c $ em (a, b) onde a derivada de $ g $ é zero, ou seja, $ g’© = 0 $.
Resumindo, o Teorema de Rolle garante que, se a função começa e termina com o mesmo valor no intervalo e é contínua e diferenciável no intervalo, então ela tem um ponto de máximo ou mínimo (ou seja, onde a inclinação é zero) dentro desse intervalo.

Passo 3

Agora, vamos ver se as condições do Teorema de Rolle estão satisfeitas para a função $ f $:
  1. Continuidade no intervalo fechado f : Sim, foi dado que $ f $ é contínua em [-1, 2].
  2. Diferenciabilidade no intervalo aberto f : Sim, também foi informado que $ f $ é diferenciável em [-1, 2].
  3. $ f(-1) = f(2) $: Aqui está o problema. Temos que $ f(-1) = -1 $ e $ f(2) = 5 $. Esses valores são diferentes.

Passo 4

Como o Teorema de Rolle exige que $ f(a) = f(b) $, e no nosso caso $ f(-1) \neq f(2) $, isso significa que uma das condições do teorema não está sendo atendida.

Passo 5

Portanto, não podemos aplicar o Teorema de Rolle a essa função, já que uma das condições essenciais não é satisfeita.

Resposta

Falso. O Teorema de Rolle não pode ser aplicado nessa função porque $ f(-1) \neq f(2) $.

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