Encontre uma soluçăo particular para cada equaçăo abaixo e escreva a soluçâo geral da mesma.
3 y^prime prime-12 y^prime+4 y=x^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a seguinte equação diferencial:
3 y'' - 12 y' + 4 y = x^2
O que precisamos fazer é encontrar uma solução particular para essa equação e, em seguida, escrever a solução geral. Para isso, vamos precisar entender sobre equações diferenciais lineares e como encontrar soluções homogêneas e particulares.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é quando igualamos o lado direito a zero:
3 y'' - 12 y' + 4 y = 0
Para resolver isso, vamos achar as raízes da equação característica. A equação característica para essa equação diferencial é:
3 r^2 - 12 r + 4 = 0

Passo 3

Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de $ r $. Usando a fórmula de Bhaskara:
r
Então, as raízes são $ r_1 = 2 + \frac{2\sqrt{6}}{3} $ e $ r_2 = 2 - \frac{2\sqrt{6}}{3} $.

Passo 4

Com as raízes em mãos, a solução geral da equação homogênea é dada por:
yh = C1 e^(2 + 2raiz63)x + C2 e^(2 - 2raiz63)x
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes arbitrárias.

Passo 5

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação não homogênea:
3 y'' - 12 y' + 4 y = x^2
Como o lado direito é um polinômio de segundo grau ($ x^{2} $), vamos supor que a solução particular também seja um polinômio de segundo grau:
x^2

Passo 6

Vamos derivar $ y_p $ para substituir na equação:
yp
yp' = 2A x + B
Substituindo na equação original:
yp'' = 2A
Simplificando:
3(2A) - 12(2A x + B) + 4(A x^2 + B x + C) = x^2
Agora, agrupamos os termos semelhantes:
6A - 24A x - 12B + 4A x^2 + 4B x + 4C = x^2

Passo 7

Para que a igualdade seja válida para todo $ x $, os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais. Assim, temos o sistema de equações:
  1. $ 4A = 1 $ (coeficiente de $ x^{2} $)
  2. $ -24A + 4B = 0 $ (coeficiente de $ x $)
  3. $ 6A - 12B + 4C = 0 $ (termo constante)
Resolvendo o sistema:
  1. De $ 4A = 1 $, temos $ A = \frac{1}{4} $.
  2. Substituindo $ A $ na segunda equação: x
    3. Substituindo $ A $ e $ B $ na terceira equação:
    4A = 1 x^2 -24A + 4B = 0 x

Passo 8

Com os valores de $ A $, $ B $ e $ C $, a solução particular é:
A

Resposta

A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
y = C1 e^(2 + 2raiz63)x + C2 e^(2 - 2raiz63)x + 14x^2 + 32x + 338
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes arbitrárias.

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