Encontre uma soluçăo particular para cada equaçăo abaixo e escreva a soluçâo geral da mesma.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a seguinte equação diferencial:
O que precisamos fazer é encontrar uma solução particular para essa equação e, em seguida, escrever a solução geral. Para isso, vamos precisar entender sobre equações diferenciais lineares e como encontrar soluções homogêneas e particulares.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é quando igualamos o lado direito a zero:
Para resolver isso, vamos achar as raízes da equação característica. A equação característica para essa equação diferencial é:
Passo 3
Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de $ r $. Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as raízes são $ r_1 = 2 + \frac{2\sqrt{6}}{3} $ e $ r_2 = 2 - \frac{2\sqrt{6}}{3} $.
Passo 4
Com as raízes em mãos, a solução geral da equação homogênea é dada por:
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes arbitrárias.
Passo 5
Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação não homogênea:
Como o lado direito é um polinômio de segundo grau ($ x^{2} $), vamos supor que a solução particular também seja um polinômio de segundo grau:
Passo 6
Vamos derivar $ y_p $ para substituir na equação:
Substituindo na equação original:
Simplificando:
Agora, agrupamos os termos semelhantes:
Passo 7
Para que a igualdade seja válida para todo $ x $, os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais. Assim, temos o sistema de equações:
- $ 4A = 1 $ (coeficiente de $ x^{2} $)
- $ -24A + 4B = 0 $ (coeficiente de $ x $)
- $ 6A - 12B + 4C = 0 $ (termo constante)
Resolvendo o sistema:
- De $ 4A = 1 $, temos $ A = \frac{1}{4} $.
- Substituindo $ A $ na segunda equação:
3. Substituindo $ A $ e $ B $ na terceira equação:
Passo 8
Com os valores de $ A $, $ B $ e $ C $, a solução particular é:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes arbitrárias.