Exercício 12. Resolva
\left\{\begin{array}{l} -y^{\prime \prime}(x)=\cos \left(\frac{3 \pi x}{L}\right) \\\ y^{\prime}(0)=0, \quad y^{\prime}(L)=0 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá a seguinte equação diferencial com condições de contorno:
\left\{\begin{array}{l} -y^{\prime\prime}(x)=\cos\!\left(\dfrac{3\pi x}{L}\right)\\[4pt] y^{\prime}(0)=0,\quad y^{\prime}(L)=0 \end{array}\right.
As perguntas implícitas são:
  • Encontrar todas as funções y(x) que satisfazem a equação diferencial no intervalo [0,L].
  • Impondo as condições y'(0)=0 e y'(L)=0, determinar os constantes de integração e a forma final de y(x).
Informações relevantes fornecidas:
  • O termo do lado direito da equação é \cos\!\left(\dfrac{3\pi x}{L}\right).
  • As condições de contorno são do tipo derivada em 0 e em L (condições de Neumann).]

Passo 2

Primeiro simplifico a notação definindo
k=\frac{3\pi}{L}.
Assim a equação fica mais clara:
-y^{\prime\prime}(x)=\cos(kx).
Reescrevendo de modo habitual:
y^{\prime\prime}(x)=-\cos(kx).
Vou resolver integrando duas vezes; cada integração introduz uma constante arbitrária que depois devemos ajustar com as condições de contorno.

Passo 3

Integro a expressão y^{\prime\prime}(x)=-\cos(kx) uma vez para obter y'(x). Lembrando que a primitiva de \cos(kx) é \dfrac{1}{k}\sin(kx), obtenho:
y'(x) = -\int \cos(kx)\,dx + C_1 = -\frac{1}{k}\sin(kx) + C_1,
onde C_1 é a primeira constante de integração. Aqui expliquei: o sinal menos sai da equação original e a integral de \cos(kx) é \frac{1}{k}\sin(kx).

Passo 4

Agora aplico a condição de contorno em x=0, que é y'(0)=0. Uso a expressão obtida para y'(x):
y'(0) = -\frac{1}{k}\sin(0) + C_1 = 0 + C_1 = C_1.
Como y'(0)=0, concluo que
C_1=0.
Ou seja, a constante na derivada é zero; a expressão de y'(x) fica simplificada:
y'(x) = -\frac{1}{k}\sin(kx).

Passo 5

Integro y'(x) = -\dfrac{1}{k}\sin(kx) para obter y(x). A primitiva de \sin(kx) é -\dfrac{1}{k}\cos(kx), logo
y(x) = -\frac{1}{k}\int \sin(kx)\,dx + C_2 = -\frac{1}{k}\left(-\frac{1}{k}\cos(kx)\right) + C_2 = \frac{1}{k^2}\cos(kx) + C_2,
onde C_2 é a segunda constante de integração (um número arbitrário).

Passo 6

Verifico a segunda condição de contorno y'(L)=0. Já temos y'(x) = -\dfrac{1}{k}\sin(kx), então
y'(L) = -\frac{1}{k}\sin(kL).
Mas kL = \dfrac{3\pi}{L}\cdot L = 3\pi. Logo
\sin(kL)=\sin(3\pi)=0,
portanto y'(L)=0 é automaticamente satisfeito com C_1=0. Não surge nova restrição sobre C_2.
Breve observação de compatibilidade (útil para provas): ao integrar a equação original em [0,L] nota-se que uma condição necessária para existência de solução é \int_0^L \cos(kx)\,dx=0, porque integrando -y''= \cos(kx) obtemos -[y']_0^L=\int_0^L\cos(kx)\,dx e as condições de Neumann tornam o lado esquerdo zero. No caso dado essa integral é zero porque \int_0^L \cos\!\left(\dfrac{3\pi x}{L}\right)\,dx = \dfrac{L}{3\pi}\big[\sin(kx)\big]_0^L =0. Assim não há incompatibilidade.

Passo 7

Substituo k=\dfrac{3\pi}{L} na expressão final de y(x). Como 1/k^2 = \dfrac{L^2}{9\pi^2}, a solução geral que satisfaz a equação e as duas condições de contorno é
y(x)=\frac{L^2}{9\pi^2}\cos\!\left(\frac{3\pi x}{L}\right)+C,
onde C é uma constante arbitrária (o mesmo que C_2). Comentário didático: aparece uma constante livre porque condições de Neumann (derivadas prescritas) determinam y apenas até uma constante aditiva — isso é esperado e comum.

Resposta

y(x)=\frac{L^2}{9\pi^2}\cos\!\left(\frac{3\pi x}{L}\right)+C,\quad C\in\mathbb{R}

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