onde C_2 é a segunda constante de integração (um número arbitrário).
Passo 6
Verifico a segunda condição de contorno y'(L)=0. Já temos y'(x) = -\dfrac{1}{k}\sin(kx), então
y'(L) = -\frac{1}{k}\sin(kL).
Mas kL = \dfrac{3\pi}{L}\cdot L = 3\pi. Logo
\sin(kL)=\sin(3\pi)=0,
portanto y'(L)=0 é automaticamente satisfeito com C_1=0. Não surge nova restrição sobre C_2.
Breve observação de compatibilidade (útil para provas): ao integrar a equação original em [0,L] nota-se que uma condição necessária para existência de solução é \int_0^L \cos(kx)\,dx=0, porque integrando -y''= \cos(kx) obtemos -[y']_0^L=\int_0^L\cos(kx)\,dx e as condições de Neumann tornam o lado esquerdo zero. No caso dado essa integral é zero porque \int_0^L \cos\!\left(\dfrac{3\pi x}{L}\right)\,dx = \dfrac{L}{3\pi}\big[\sin(kx)\big]_0^L =0. Assim não há incompatibilidade.
Passo 7
Substituo k=\dfrac{3\pi}{L} na expressão final de y(x). Como 1/k^2 = \dfrac{L^2}{9\pi^2}, a solução geral que satisfaz a equação e as duas condições de contorno é
onde C é uma constante arbitrária (o mesmo que C_2). Comentário didático: aparece uma constante livre porque condições de Neumann (derivadas prescritas) determinam y apenas até uma constante aditiva — isso é esperado e comum.