Encontre a solução particular determinada pelas condições iniciais dada.
y^prime prime+2 y^prime+y=x^2+x, y(0)=2, y^prime(0)=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem:
y'' + 2y' + y = x^2 + x
com as condições iniciais y(0) = 2 e y'(0) = 1. A matéria envolvida aqui é equações diferenciais lineares com coeficientes constantes. Para resolver, precisamos encontrar a solução geral da equação homogênea e uma solução particular da equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
y'' + 2y' + y = 0
Para isso, assumimos uma solução da forma y = e^rt, substituímos na equação e obtemos a equação característica:
r^2 + 2r + 1 = 0
Resolvendo essa equação quadrática, encontramos as raízes.

Passo 3

Resolvendo r^2 + 2r + 1 = 0, temos:
De
Como o discriminante De é zero, temos raízes reais e iguais:
r = -22 = -1
Então, a solução geral da equação homogênea é:
yh = (C1 + C2 x)e^-x
onde C1 e C2 são constantes que vamos determinar pelas condições iniciais.

Passo 4

Agora, precisamos encontrar uma solução particular yp da equação completa:
y'' + 2y' + y = x^2 + x
Como o lado direito é um polinômio de segundo grau, tentamos uma solução particular da forma:
yp = Ax^2 + Bx + C
Aqui, A, B e C são coeficientes que vamos determinar.

Passo 5

Calculando as derivadas de yp:
yp' = 2Ax + B
yp'' = 2A
Substituindo yp, yp' e yp'' na equação diferencial:
2A + 2(2Ax + B) + (Ax^2 + Bx + C) = x^2 + x
Simplificando:
Ax^2 + (4A + B)x + (2A + 2B + C) = x^2 + x

Passo 6

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
  • Coeficiente de x^2: A = 1
  • Coeficiente de x: 4A + B = 1 4(1) + B = 1 B = -3
  • Termo constante: 2A + 2B + C = 0 2(1) + 2(-3) + C = 0 2 - 6 + C = 0 C = 4
Então, a solução particular é:
yp = x^2 - 3x + 4

Passo 7

A solução geral da equação completa é a soma da solução homogênea com a particular:
y = yh + yp = (C1 + C2 x)e^-x + x^2 - 3x + 4

Passo 8

Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar C1 e C2.
Para y(0) = 2:
2 = (C1 + C2 cdot 0)e^0 + 0 - 0 + 4
2 = C1 + 4
C1 = -2
Para y'(0) = 1, primeiro encontramos a derivada de y:
y' = (C2 - (C1 + C2 x))e^-x + 2x - 3
Avaliando em x=0:
1 = (C2 - C1)e^0 + 0 - 3
1 = C2 - (-2) - 3
1 = C2 + 2 - 3
C2 = 2

Resposta

A solução particular que satisfaz as condições iniciais é:
y = (-2 + 2x)e^-x + x^2 - 3x + 4

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