Encontre a solução particular determinada pelas condições iniciais dada.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem:
com as condições iniciais
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para isso, assumimos uma solução da forma
Resolvendo essa equação quadrática, encontramos as raízes.
Passo 3
Resolvendo
, temos:
Como o discriminante
Então, a solução geral da equação homogênea é:
onde
Passo 4
Agora, precisamos encontrar uma solução particular
da equação completa:
Como o lado direito é um polinômio de segundo grau, tentamos uma solução particular da forma:
Aqui,
,
e
são coeficientes que vamos determinar.
Passo 5
Calculando as derivadas de
:
Substituindo
Simplificando:
Passo 6
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
- Coeficiente de
: - Coeficiente de
: → → - Termo constante:
→ → →
Então, a solução particular é:
Passo 7
A solução geral da equação completa é a soma da solução homogênea com a particular:
Passo 8
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar
e
.
Para
:
Para
, primeiro encontramos a derivada de
:
Avaliando em
Resposta
A solução particular que satisfaz as condições iniciais é: