Encontre a solução particular determinada pelas condições iniciais dada.
y^prime prime+9 y=8 cos x, y(pi / 2)=-1, y^prime(pi / 2)=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a solução particular da equação diferencial
y'' + 9y = 8 cos x
com as condições iniciais
y(pi2) = -1 e y'(pi2) = 1
Para isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes e encontrar tanto a solução geral da equação homogênea quanto uma solução particular da equação completa. Vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é
y'' + 9y = 0
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A gente assume uma solução da forma
yh = e^rx,
onde $ r $ é uma constante a ser determinada. Substituindo na equação homogênea:
r
Como $ e^{rx} $ nunca é zero, temos que
r^2 e^rx + 9 e^rx = 0 Rightarrow e^rx (r^2 + 9) = 0
Essas raízes complexas indicam que a solução geral da equação homogênea é
e^rx
onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora, vamos encontrar uma solução particular $ y_p $ para a equação completa
yp
Como o lado direito é $ 8 \cos x $, vamos supor que a solução particular tenha a forma
y'' + 9y = 8 cos x
onde $ A $ e $ B $ são constantes que precisamos determinar.
Vamos calcular as derivadas de $ y_p $:
8 cos x
yp = A cos x + B sin x,
Substituindo $ y_p $, $ y_p’ $ e $ y_p’’ $ na equação completa:
A
Simplificando:
B
yp
Para que essa igualdade seja válida para todo $ x $, os coeficientes de $ \cos x $ e $ \sin x $ devem ser iguais nos dois lados da equação. Assim:
yp' = -A sin x + B cos x,
yp'' = -A cos x - B sin x
Portanto, a solução particular é
yp

Passo 4

Agora, a solução geral da equação completa é a soma da solução homogênea com a solução particular:
y = yh + yp = C1 cos 3x + C2 sin 3x + cos x
Precisamos determinar as constantes $ C_1 $ e $ C_2 $ usando as condições iniciais fornecidas.

Passo 5

Primeiro, aplicamos a condição inicial $ y\left(\frac{\pi}{2}\right) = -1 $:
y(pi2) = -1
Sabemos que:
-1 = C1 cos (3 cdot pi2) + C2 sin (3 cdot pi2) + cos (pi2)
Substituindo:
cos (3pi2) = 0, sin (3pi2) = -1, cos (pi2) = 0

Passo 6

Agora, usamos a segunda condição inicial $ y’\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 $.
Primeiro, calculamos a derivada de $ y $:
y'(pi2) = 1
Aplicando $ x = \frac{\pi}{2} $:
y
Sabemos que:
y' = -3 C1 sin 3x + 3 C2 cos 3x - sin x
Substituindo:
x = pi2
Resolvendo para $ C_1 $:
1 = -3 C1 sin (3 cdot pi2) + 3 C2 cos (3 cdot pi2) - sin (pi2)

Resposta

A solução particular que satisfaz as condições iniciais é
y(x) = 23 cos 3x + sin 3x + cos x

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