Encontre a solução particular determinada pelas condições iniciais dada.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a solução particular da equação diferencial
com as condições iniciais
Para isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes e encontrar tanto a solução geral da equação homogênea quanto uma solução particular da equação completa. Vamos nessa!
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A gente assume uma solução da forma
onde $ r $ é uma constante a ser determinada. Substituindo na equação homogênea:
Como $ e^{rx} $ nunca é zero, temos que
Essas raízes complexas indicam que a solução geral da equação homogênea é
onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes arbitrárias.
Passo 3
Agora, vamos encontrar uma solução particular $ y_p $ para a equação completa
Como o lado direito é $ 8 \cos x $, vamos supor que a solução particular tenha a forma
onde $ A $ e $ B $ são constantes que precisamos determinar.
Vamos calcular as derivadas de $ y_p $:
Substituindo $ y_p $, $ y_p’ $ e $ y_p’’ $ na equação completa:
Simplificando:
Para que essa igualdade seja válida para todo $ x $, os coeficientes de $ \cos x $ e $ \sin x $ devem ser iguais nos dois lados da equação. Assim:
Portanto, a solução particular é
Passo 4
Agora, a solução geral da equação completa é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Precisamos determinar as constantes $ C_1 $ e $ C_2 $ usando as condições iniciais fornecidas.
Passo 5
Primeiro, aplicamos a condição inicial $ y\left(\frac{\pi}{2}\right) = -1 $:
Sabemos que:
Substituindo:
Passo 6
Agora, usamos a segunda condição inicial $ y’\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 $.
Primeiro, calculamos a derivada de $ y $:
Aplicando $ x = \frac{\pi}{2} $:
Sabemos que:
Substituindo:
Resolvendo para $ C_1 $:
Resposta
A solução particular que satisfaz as condições iniciais é