Nos Exercícios de 9 a 13, encontre a série infinita que produz a seqüência de somas parciais dada. Determine também se a série infinita é convergente ou divergente; se for convergente, encontre a sua soma.
sn=2 n3 n+1

Passo 1

O enunciado dá a sequência de somas parciais sn=2n3n+1 e pede pra gente encontrar a série infinita sumk=1^infty ak cuja soma parcial sumk=1^n ak seja exatamente sn. Vamos usar conceitos de séries e de diferença de somas parciais.

Passo 2

Pra achar o termo geral an de uma série sabidamente ligada a somas parciais, lembro que a1=s1 e, para n>=2,
an = sn - sn-1

Passo 3

Substituindo sn=2n3n+1 e sn-1=2(n-1)3(n-1)+1=2(n-1)3n-2, temos
an = 2n3n+1 - 2(n-1)3n-2 = 2l(n(3n-2)-(n-1)(3n+1)r)(3n+1)(3n-2) = 2(3n+1)(3n-2)

Passo 4

Logo a série buscada é
sumn=1^infty an = sumn=1^infty 2(3n+1)(3n-2)

Passo 5

Para verificar convergência, basta olhar o limite das somas parciais
limntoinftysn = limntoinfty2n3n+1 = 23

Passo 6

Como o limite existe e é finito, a série converge e sua soma é 2/3.

Resposta

A série é sumn=1^infty 2(3n+1)(3n-2), ela converge e tem soma 23.

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