Nos Exercícios de 9 a 13, encontre a série infinita que produz a seqüência de somas parciais dada. Determine também se a série infinita é convergente ou divergente; se for convergente, encontre a sua soma.
sn=13^n

Passo 1

O enunciado dá a sequência de somas parciais sn=13^n e pede para encontrar a série infinita cuja soma parcial é sn. O conteúdo aqui é teoria de séries: sabemos que o termo geral da série é dado por an=sn-sn-1.

Passo 2

Para usar an=sn-sn-1 precisamos de s0=0. Então:
Em bloco para n=1:
a1=s1-s0=13-0=13
Em bloco para n>=2:
an=sn-sn-1=13^n-13^n-1=1-33^n=-23^n

Passo 3

Assim, a série infinita fica
sumn=1^infty an=13+sumn=2^inftyl(-23^nr)=13-2sumn=2^infty13^n

Passo 4

Para verificar convergência, note que snto0 quando ntoinfty. Logo a série converge e sua soma é
limntoinftysn=limntoinfty13^n=0

Passo 5

Alternativamente, podemos usar a soma da parte geométrica:
sumn=2^infty13^n=1/91-1/3=16
Então
13-2cdot16=13-13=0

Resposta

A série é
sumn=1^infty an=13-23^2-23^3-cdots
Ela converge e sua soma é 0.

Exercícios relacionados