Encontre a solução particular determinada pelas condições iniciais dada.
y^prime prime-5 y^prime-6 y=e^3 x, y(0)=2, y^prime(0)=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação diferencial do tipo $ y’’ - 5y’ - 6y = e^{3x} $ com as condições iniciais $ y(0) = 2 $ e $ y’(0) = 1 $. Aqui, estamos lidando com equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, a gente vai precisar encontrar a solução geral da equação homogênea e uma solução particular da equação completa. Depois, aplicamos as condições iniciais para achar os valores das constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, ou seja, a equação sem o termo $ e^{3x} $:
e^3x
Para isso, achamos a equação característica associada:
y'' - 5y' - 6y = 0
Resolvendo essa equação quadrática:
r^2 - 5r - 6 = 0
Isso nos dá duas raízes:
r = 5 pm raiz25 + 242 = 5 pm raiz492 = 5 pm 72

Passo 3

Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
yh = C1 e^6x + C2 e^-x
Aqui, $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 4

Agora, vamos encontrar uma solução particular da equação completa:
y'' - 5y' - 6y = e^3x
Como o termo do lado direito é $ e^{3x} $ e essa função não aparece na solução homogênea, podemos tentar uma solução particular da forma:
e^3x
Onde $ A $ é uma constante que precisamos descobrir.

Passo 5

Calculando as derivadas de $ y_p $:
yp
yp' = 3A e^3x
Substituindo $ y_p $, $ y_p’ $ e $ y_p’’ $ na equação original:
yp'' = 9A e^3x
yp
yp'
Para que essa igualdade seja válida para todo $ x $, temos:
yp''
9A e^3x - 5 cdot 3A e^3x - 6A e^3x = e^3x
Então, a solução particular é:
(9A - 15A - 6A) e^3x = e^3x

Passo 6

Agora, juntamos a solução homogênea com a particular para obter a solução geral da equação completa:
y = yh + yp
y = C1 e^6x + C2 e^-x - 112 e^3x

Passo 7

Vamos aplicar as condições iniciais para encontrar $ C_1 $ e $ C_2 $.
Primeiro, usaremos $ y(0) = 2 $:
C1
C2 çã

Passo 8

Agora, calculamos a derivada de $ y $:
y
Aplicando a condição inicial $ y’(0) = 1 $:
y' = 6C1 e^6x - C2 e^-x - 14 e^3x
y'(0) = 1 çã

Passo 9

Agora, temos um sistema de duas equações:
  1. $ C_1 + C_2 = \frac{25}{12} $
  2. $ 6C_1 - C_2 = \frac{5}{4} $
Somando as duas equações para eliminar $ C_2 $:
C1 + C2 = 2512
6C1 - C2 = 54
C2
Substituindo $ C_1 $ na Equação 1:
(C1 + C2) + (6C1 - C2) = 2512 + 54
7C1 = 2512 + 1512 = 4012 = 103

Resposta

A solução particular que satisfaz as condições iniciais é:
y = 1021 e^6x + 4528 e^-x - 112 e^3x

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