Encontre a solução particular determinada pelas condições iniciais dada.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação diferencial do tipo $ y’’ - 5y’ - 6y = e^{3x} $ com as condições iniciais $ y(0) = 2 $ e $ y’(0) = 1 $. Aqui, estamos lidando com equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, a gente vai precisar encontrar a solução geral da equação homogênea e uma solução particular da equação completa. Depois, aplicamos as condições iniciais para achar os valores das constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, ou seja, a equação sem o termo $ e^{3x} $:
Para isso, achamos a equação característica associada:
Resolvendo essa equação quadrática:
Isso nos dá duas raízes:
Passo 3
Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
Aqui, $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 4
Agora, vamos encontrar uma solução particular da equação completa:
Como o termo do lado direito é $ e^{3x} $ e essa função não aparece na solução homogênea, podemos tentar uma solução particular da forma:
Onde $ A $ é uma constante que precisamos descobrir.
Passo 5
Calculando as derivadas de $ y_p $:
Substituindo $ y_p $, $ y_p’ $ e $ y_p’’ $ na equação original:
Para que essa igualdade seja válida para todo $ x $, temos:
Então, a solução particular é:
Passo 6
Agora, juntamos a solução homogênea com a particular para obter a solução geral da equação completa:
Passo 7
Vamos aplicar as condições iniciais para encontrar $ C_1 $ e $ C_2 $.
Primeiro, usaremos $ y(0) = 2 $:
Passo 8
Agora, calculamos a derivada de $ y $:
Aplicando a condição inicial $ y’(0) = 1 $:
Passo 9
Agora, temos um sistema de duas equações:
- $ C_1 + C_2 = \frac{25}{12} $
- $ 6C_1 - C_2 = \frac{5}{4} $
Somando as duas equações para eliminar $ C_2 $:
Substituindo $ C_1 $ na Equação 1:
Resposta
A solução particular que satisfaz as condições iniciais é: