Usando o método dos coeficientes indeterminados, resolva a edo linear não-homogênea com coeficientes constantes.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial linear não homogênea com coeficientes constantes usando o método dos coeficientes indeterminados. A equação que temos é:
Aqui, a matéria que estamos trabalhando é Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs), especificamente aquelas lineares não homogêneas com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar entender como encontrar a solução geral dessa equação, que engloba tanto a solução da parte homogênea quanto uma solução particular da não homogênea.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, ou seja, quando o lado direito é igual a zero:
Essa é uma equação diferencial linear homogênea com coeficientes constantes. Para resolvê-la, assumimos que a solução tem a forma
, onde
é uma constante a ser determinada.
Passo 3
Substituindo
na equação homogênea:
Substituindo esses na equação:
Podemos fatorar
:
Como
nunca é zero, temos:
Passo 4
Resolvendo a equação característica
, encontramos as raízes:
Portanto, as soluções da parte homogênea são:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 5
Agora, vamos encontrar uma solução particular (
) para a equação não homogênea:
Usaremos o método dos coeficientes indeterminados, que consiste em assumir uma forma para
baseada na função do lado direito e ajustar os coeficientes para que a equação seja satisfeita.
Passo 6
Como o lado direito é
, tentamos uma solução particular da forma:
onde
é uma constante a ser determinada.
Passo 7
Calculando as derivadas de
:
Substituindo
,
e
na equação original:
Passo 8
Como
é diferente de zero, podemos dividir os dois lados por
:
Passo 9
Portanto, a solução particular é:
Passo 10
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: