Usando o método dos coeficientes indeterminados, resolva a edo linear não-homogênea com coeficientes constantes.
y^prime prime+5 y^prime=3 e^x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial linear não homogênea com coeficientes constantes usando o método dos coeficientes indeterminados. A equação que temos é:
y'' + 5y' = 3e^x
Aqui, a matéria que estamos trabalhando é Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs), especificamente aquelas lineares não homogêneas com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar entender como encontrar a solução geral dessa equação, que engloba tanto a solução da parte homogênea quanto uma solução particular da não homogênea.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, ou seja, quando o lado direito é igual a zero:
y'' + 5y' = 0
Essa é uma equação diferencial linear homogênea com coeficientes constantes. Para resolvê-la, assumimos que a solução tem a forma y = e^rx, onde r é uma constante a ser determinada.

Passo 3

Substituindo y = e^rx na equação homogênea:
y' = r e^rx y'' = r^2 e^rx
Substituindo esses na equação:
r^2 e^rx + 5r e^rx = 0
Podemos fatorar e^rx:
e^rx (r^2 + 5r) = 0
Como e^rx nunca é zero, temos:
r^2 + 5r = 0 r(r + 5) = 0

Passo 4

Resolvendo a equação característica r(r + 5) = 0, encontramos as raízes:
r = 0 ou r = -5
Portanto, as soluções da parte homogênea são:
yh = C1 e^0x + C2 e^-5x = C1 + C2 e^-5x
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

Passo 5

Agora, vamos encontrar uma solução particular ( yp) para a equação não homogênea:
y'' + 5y' = 3e^x
Usaremos o método dos coeficientes indeterminados, que consiste em assumir uma forma para yp baseada na função do lado direito e ajustar os coeficientes para que a equação seja satisfeita.

Passo 6

Como o lado direito é 3e^x, tentamos uma solução particular da forma:
yp = A e^x
onde A é uma constante a ser determinada.

Passo 7

Calculando as derivadas de yp:
yp' = A e^x yp'' = A e^x
Substituindo yp, yp' e yp'' na equação original:
A e^x + 5(A e^x) = 3e^x A e^x + 5A e^x = 3e^x 6A e^x = 3e^x

Passo 8

Como e^x é diferente de zero, podemos dividir os dois lados por e^x:
6A = 3 A = 36 = 12

Passo 9

Portanto, a solução particular é:
yp = 12 e^x

Passo 10

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
y = yh + yp = C1 + C2 e^-5x + 12 e^x

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = C1 + C2 e^-5x + 12 e^x

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