Encontre a solução particular determinada pelas condições iniciais dada.
y^prime prime-y^prime-2 y=5 sen x, y(0)=1, y^prime(0)=-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado pede para encontrar uma solução específica para a equação $ y’’ - y’ - 2y = 5 \sin x $, com as condições iniciais $ y(0) = 1 $ e $ y’(0) = -1 $.
Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, precisamos encontrar a solução geral que é a soma da solução complementar (associada à equação homogênea) e uma solução particular (associada ao termo não homogêneo, que aqui é $ 5 \sin x $).

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a solução complementar resolvendo a equação homogênea associada:
y'' - y' - 2y = 0
Vamos supor que a solução tem a forma $ y = e^{rx} $. Substituindo na equação homogênea:
y = e^rx
Dividindo por $ e^{rx} $ (que nunca é zero):
r^2 e^rx - r e^rx - 2 e^rx = 0
Resolvendo essa equação quadrática para $ r $:
e^rx
Então, as raízes são $ r_1 = 2 $ e $ r_2 = -1 $. Assim, a solução complementar é:
r^2 - r - 2 = 0

Passo 3

Agora, vamos encontrar uma solução particular $ y_p $ para a equação completa $ y’’ - y’ - 2y = 5 \sin x $.
Como o lado direito é $ 5 \sin x $, vamos supor que a solução particular tem a forma:
yp
Onde $ A $ e $ B $ são constantes que precisamos determinar.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas de $ y_p $:
yp
yp' = -A sin x + B cos x
Substituindo $ y_p $, $ y_p’ $ e $ y_p’’ $ na equação original:
yp'' = -A cos x - B sin x
Simplificando:
yp
Agrupando os termos:
yp'
yp''

Passo 5

Para que essa igualdade seja verdadeira para todo $ x $, os coeficientes de $ \cos x $ e $ \sin x $ devem ser iguais nos dois lados da equação. Assim, temos:
x
cos x
Agora, vamos resolver esse sistema de equações para encontrar $ A $ e $ B $.

Passo 6

Da primeira equação:
-3A - B = 0 Rightarrow B = -3A
Substituindo $ B = -3A $ na segunda equação:
B = -3A
A - 3(-3A) = 5
A + 9A = 5
10A = 5
Agora, encontrando $ B $:
A = 510 = 12

Passo 7

Então, a solução particular é:
yp = A cos x + B sin x = 12 cos x - 32 sin x

Passo 8

Agora, combinando a solução complementar $ y_c $ com a solução particular $ y_p $, temos a solução geral da equação diferencial:
yc

Passo 9

Vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores das constantes $ C_1 $ e $ C_2 $.
Primeiro, utilizamos $ y(0) = 1 $:
C1
C2
y(0) = 1 (Equação 1)

Passo 10

Agora, derivamos $ y $ para usar a segunda condição $ y’(0) = -1 $:
y
Aplicando $ x = 0 $:
y'(0) = -1
y' = 2C1 e^2x - C2 e^-x - 12 sin x - 32 cos x
x = 0
y'(0) = 2C1 e^0 - C2 e^0 - 12 sin 0 - 32 cos 0 (Equação 2)

Passo 11

Agora, temos o sistema de equações:
  1. $ C_1 + C_2 = \frac{1}{2} $
  2. $ 2C_1 - C_2 = \frac{1}{2} $
Vamos somar as duas equações:
C1 + C2 = 12
2C1 - C2 = 12
(C1 + C2) + (2C1 - C2) = 12 + 12
Substituindo $ C_1 = \frac{1}{3} $ na Equação 1:
3C1 = 1
C1 = 13

Resposta

A solução particular que satisfaz as condições iniciais é:
y = 13 e^2x + 16 e^-x + 12 cos x - 32 sin x

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