Encontre a solução particular determinada pelas condições iniciais dada.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado pede para encontrar uma solução específica para a equação $ y’’ - y’ - 2y = 5 \sin x $, com as condições iniciais $ y(0) = 1 $ e $ y’(0) = -1 $.
Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, precisamos encontrar a solução geral que é a soma da solução complementar (associada à equação homogênea) e uma solução particular (associada ao termo não homogêneo, que aqui é $ 5 \sin x $).
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a solução complementar resolvendo a equação homogênea associada:
Vamos supor que a solução tem a forma $ y = e^{rx} $. Substituindo na equação homogênea:
Dividindo por $ e^{rx} $ (que nunca é zero):
Resolvendo essa equação quadrática para $ r $:
Então, as raízes são $ r_1 = 2 $ e $ r_2 = -1 $. Assim, a solução complementar é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar uma solução particular $ y_p $ para a equação completa $ y’’ - y’ - 2y = 5 \sin x $.
Como o lado direito é $ 5 \sin x $, vamos supor que a solução particular tem a forma:
Onde $ A $ e $ B $ são constantes que precisamos determinar.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas de $ y_p $:
Substituindo $ y_p $, $ y_p’ $ e $ y_p’’ $ na equação original:
Simplificando:
Agrupando os termos:
Passo 5
Para que essa igualdade seja verdadeira para todo $ x $, os coeficientes de $ \cos x $ e $ \sin x $ devem ser iguais nos dois lados da equação. Assim, temos:
Agora, vamos resolver esse sistema de equações para encontrar $ A $ e $ B $.
Passo 6
Da primeira equação:
Substituindo $ B = -3A $ na segunda equação:
Agora, encontrando $ B $:
Passo 7
Então, a solução particular é:
Passo 8
Agora, combinando a solução complementar $ y_c $ com a solução particular $ y_p $, temos a solução geral da equação diferencial:
Passo 9
Vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores das constantes $ C_1 $ e $ C_2 $.
Primeiro, utilizamos $ y(0) = 1 $:
Passo 10
Agora, derivamos $ y $ para usar a segunda condição $ y’(0) = -1 $:
Aplicando $ x = 0 $:
Passo 11
Agora, temos o sistema de equações:
- $ C_1 + C_2 = \frac{1}{2} $
- $ 2C_1 - C_2 = \frac{1}{2} $
Vamos somar as duas equações:
Substituindo $ C_1 = \frac{1}{3} $ na Equação 1:
Resposta
A solução particular que satisfaz as condições iniciais é: