Resolva o PVI.
y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}-3 y=3 t e^{2 t}, \quad y(0)=1, \quad y^{\prime}(0)=1

Passo 1

O problema dá o PVI
y''-2y'-3y=3t e^{2t},\qquad y(0)=1,\qquad y'(0)=1.
O que se pede é encontrar a função y(t) que satisfaz a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes e as condições iniciais. Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Equação não homogênea: o termo independente é 3t e^{2t} (produto de um polinômio de grau 1 por e^{2t}).
  • Condições iniciais: y(0)=1 e y'(0)=1.

Passo 2

Resolver primeiro a equação homogênea associada:
y''-2y'-3y=0.
Explico a técnica: para equações lineares com coeficientes constantes tentamos uma solução do tipo y=e^{rt}. Substituindo obtemos a equação característica
r^2-2r-3=0.
Resolvendo essa quadrática:
r=\frac{2\pm\sqrt{4+12}}{2}=\frac{2\pm4}{2},
logo os dois autovalores são r_1=3 e r_2=-1. Como são raízes reais distintas, a solução geral da homogênea é
y_h(t)=C_1 e^{3t}+C_2 e^{-t},
onde C_1 e C_2 são constantes a determinar pelas condições iniciais mais tarde.

Passo 3

Agora buscamos uma solução particular y_p(t) da equação completa. Explico o raciocínio do chute (método dos coeficientes indeterminados): o lado direito é 3t e^{2t}, ou seja, e^{2t} vezes um polinômio de grau 1. Normalmente tentaríamos
y_p(t)=e^{2t}(A t + B),
com A,B constantes a encontrar. Antes de aceitar esse chute, verificamos ressonância: se 2 fosse raiz da equação característica, teríamos que multiplicar por t um fator adicional. Aqui as raízes da característica são 3 e -1, portanto 2 NÃO é raiz; o chute acima é válido.
Calculemos as derivadas de y_p com cuidado:
y_p(t)=e^{2t}(A t + B).
Derivando uma vez (usar regra do produto: (e^{2t})' = 2e^{2t}):
y_p'(t)=2e^{2t}(A t + B)+e^{2t}\cdot A = e^{2t}\big(2A t + (2B + A)\big).
Derivando de novo:
y_p''(t)=2e^{2t}\big(2A t + (2B + A)\big)+e^{2t}\cdot 2A = e^{2t}\big(4A t + (4B + 4A)\big).
Agora substituímos na parte esquerda L[y]=y''-2y'-3y:
L[y_p]=e^{2t}\big(4A t + (4B + 4A)\big) -2e^{2t}\big(2A t + (2B + A)\big) -3e^{2t}\big(A t + B\big).
Fatorando e^{2t} e somando termos semelhantes (coeficiente de t e termo constante):
  • Coeficiente de t:
4A -2\cdot 2A -3A = 4A -4A -3A = -3A.
  • Termo constante:
(4B+4A) -2(2B+A) -3B = 4B+4A -4B -2A -3B = 2A -3B.
Portanto
L[y_p]=e^{2t}\big(-3A\,t + (2A-3B)\big).
Queremos L[y_p]=3t e^{2t}. Igualando coeficientes de t e do termo constante obtemos o sistema:
-3A = 3,\qquad 2A-3B=0.
Da primeira equação segue A=-1. Substituindo na segunda:
2(-1)-3B=0 \implies -2-3B=0 \implies B=-\tfrac{2}{3}.
Logo a solução particular é
y_p(t)=e^{2t}\Big(-t-\tfrac{2}{3}\Big) = -e^{2t}\Big(t+\tfrac{2}{3}\Big).

Passo 4

A solução geral da equação completa é soma da homogênea com a particular:
y(t)=C_1 e^{3t}+C_2 e^{-t}-e^{2t}\Big(t+\tfrac{2}{3}\Big).
Agora aplicamos as condições iniciais para determinar C_1 e C_2.
Primeiro y(0)=1. Avaliando:
y(0)=C_1 + C_2 -\Big(0+\tfrac{2}{3}\Big)=C_1 + C_2 -\tfrac{2}{3}=1.
Daí
C_1 + C_2 = 1+\tfrac{2}{3}=\tfrac{5}{3}.
Agora precisamos de y'(t). Derivando y(t):
y'(t)=3C_1 e^{3t}-C_2 e^{-t} -\frac{d}{dt}\Big[e^{2t}\Big(t+\tfrac{2}{3}\Big)\Big].
Já calculámos algo parecido antes; a derivada de e^{2t}(t+\tfrac{2}{3}) é
2e^{2t}\Big(t+\tfrac{2}{3}\Big)+e^{2t}\cdot 1 = e^{2t}\Big(2t+\tfrac{7}{3}\Big).
Portanto
y'(t)=3C_1 e^{3t}-C_2 e^{-t} - e^{2t}\Big(2t+\tfrac{7}{3}\Big).
Avalie em t=0 e use y'(0)=1:
y'(0)=3C_1 - C_2 -\tfrac{7}{3}=1 \implies 3C_1 - C_2 = 1+\tfrac{7}{3}=\tfrac{10}{3}.
Agora resolvemos o sistema linear
\begin{cases} C_1 + C_2 = \tfrac{5}{3},\\[4pt] 3C_1 - C_2 = \tfrac{10}{3}. \end{cases}
Somando as duas equações:
4C_1 = \tfrac{5}{3} + \tfrac{10}{3} = \tfrac{15}{3}=5 \implies C_1=\tfrac{5}{4}.
Então
C_2 = \tfrac{5}{3}-C_1 = \tfrac{5}{3}-\tfrac{5}{4} = \tfrac{20-15}{12}=\tfrac{5}{12}.]

Passo 5

Substituindo C_1 e C_2 na solução geral, obtemos a solução final do PVI:
y(t)=\tfrac{5}{4}e^{3t}+\tfrac{5}{12}e^{-t}-e^{2t}\Big(t+\tfrac{2}{3}\Big).
Se quiser, pode expandir o último termo:
y(t)=\tfrac{5}{4}e^{3t}+\tfrac{5}{12}e^{-t}-t e^{2t}-\tfrac{2}{3}e^{2t}.

Resposta

\displaystyle y(t)=\tfrac{5}{4}e^{3t}+\tfrac{5}{12}e^{-t}-e^{2t}\Big(t+\tfrac{2}{3}\Big)

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