Resolva o PVI.
Passo 1
O problema dá o PVI
O que se pede é encontrar a função
que satisfaz a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes e as condições iniciais. Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Equação não homogênea: o termo independente é
(produto de um polinômio de grau 1 por ). - Condições iniciais:
e .
Passo 2
Resolver primeiro a equação homogênea associada:
Explico a técnica: para equações lineares com coeficientes constantes tentamos uma solução do tipo
. Substituindo obtemos a equação característica
Resolvendo essa quadrática:
logo os dois autovalores são
e
. Como são raízes reais distintas, a solução geral da homogênea é
onde
e
são constantes a determinar pelas condições iniciais mais tarde.
Passo 3
Agora buscamos uma solução particular
da equação completa. Explico o raciocínio do chute (método dos coeficientes indeterminados): o lado direito é
, ou seja,
vezes um polinômio de grau
. Normalmente tentaríamos
com
constantes a encontrar. Antes de aceitar esse chute, verificamos ressonância: se
fosse raiz da equação característica, teríamos que multiplicar por
um fator adicional. Aqui as raízes da característica são
e
, portanto
NÃO é raiz; o chute acima é válido.
Calculemos as derivadas de
com cuidado:
Derivando uma vez (usar regra do produto:
):
Derivando de novo:
Agora substituímos na parte esquerda
:
Fatorando
e somando termos semelhantes (coeficiente de
e termo constante):
- Coeficiente de
:
- Termo constante:
Portanto
Queremos
. Igualando coeficientes de
e do termo constante obtemos o sistema:
Da primeira equação segue
. Substituindo na segunda:
Logo a solução particular é
Passo 4
A solução geral da equação completa é soma da homogênea com a particular:
Agora aplicamos as condições iniciais para determinar
e
.
Primeiro
. Avaliando:
Daí
Agora precisamos de
. Derivando
:
Já calculámos algo parecido antes; a derivada de
é
Portanto
Avalie em
e use
:
Agora resolvemos o sistema linear
Somando as duas equações:
Então
Passo 5
Substituindo
e
na solução geral, obtemos a solução final do PVI:
Se quiser, pode expandir o último termo: