010 Calcule a soma da série \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{3}{n(n+1)}+\frac{1}{2^{n}}\right).

Passo 1

O enunciado pede que se calcule a soma da série
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{3}{n(n+1)}+\frac{1}{2^{n}}\right).
Informações dadas:
  • A série é a soma, para n de 1 a \infty, de dois termos em cada n: \dfrac{3}{n(n+1)} e \dfrac{1}{2^{n}}.
  • A pergunta é encontrar o valor numérico dessa soma infinita.

Passo 2

Usamos a linearidade da soma (podemos somar termo a termo) para separar a série em duas séries mais simples:
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{3}{n(n+1)}+\frac{1}{2^{n}}\right) = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{3}{n(n+1)}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^{n}}.
Justificação curta: como os termos são positivos, ambas as séries-convergentes (ou absolutamente convergentes) permitem essa separação. Agora vamos calcular cada uma das duas séries separadamente.

Passo 3

Calcular \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{3}{n(n+1)}.
Primeiro, fazemos uma decomposição em frações parciais: existe constantes A e B tais que
\frac{3}{n(n+1)}=\frac{A}{n}+\frac{B}{n+1}.
Multiplicando ambos os lados por n(n+1) obtemos a identidade
3 = A(n+1)+Bn.
Isso é uma identidade polinomial em n; igualando coeficientes temos duas equações:
A+B=0,\qquad A=3.
Daí A=3 e B=-3. Logo
\frac{3}{n(n+1)}=\frac{3}{n}-\frac{3}{n+1}.
Agora escrevemos a soma parcial até N:
S_{1,N}=\sum_{n=1}^{N}\left(\frac{3}{n}-\frac{3}{n+1}\right).
Essa soma é telescópica: ao expandir os primeiros termos fica claro que a maioria cancela. Fazendo a soma aparece
S_{1,N}=3\left(1-\frac{1}{N+1}\right).
Tomando o limite quando N\to\infty,
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3}{n(n+1)}=\lim_{N\to\infty}S_{1,N}=3\left(1-0\right)=3.

Passo 4

Calcular \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^{n}}.
Esta é uma série geométrica com termo geral a_n=r^{n} com r=\dfrac{1}{2}. A soma parcial até N de uma geométrica com razão r\neq1 é
S_{2,N}=\sum_{n=1}^{N}r^{n}=r\frac{1-r^{N}}{1-r}.
Substituindo r=\dfrac{1}{2} obtemos
S_{2,N}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1-(1/2)^{N}}{1-\tfrac{1}{2}}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1-(1/2)^{N}}{\tfrac{1}{2}}=1-(1/2)^{N}.
Tomando o limite N\to\infty,
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^{n}}=\lim_{N\to\infty}S_{2,N}=1-0=1.

Passo 5

Somando os resultados das duas séries:
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{3}{n(n+1)}+\frac{1}{2^{n}}\right) = 3+1=4.
Boa! As contas telescoparam e a geométrica fechou certinho — resultado simples e agradável.

Resposta

4

Exercícios relacionados