010 Calcule a soma da série
.
Passo 1
O enunciado pede que se calcule a soma da série
Informações dadas:
- A série é a soma, para
de a , de dois termos em cada : e . - A pergunta é encontrar o valor numérico dessa soma infinita.
Passo 2
Usamos a linearidade da soma (podemos somar termo a termo) para separar a série em duas séries mais simples:
Justificação curta: como os termos são positivos, ambas as séries-convergentes (ou absolutamente convergentes) permitem essa separação. Agora vamos calcular cada uma das duas séries separadamente.
Passo 3
Calcular
.
Primeiro, fazemos uma decomposição em frações parciais: existe constantes
e
tais que
Multiplicando ambos os lados por
obtemos a identidade
Isso é uma identidade polinomial em
; igualando coeficientes temos duas equações:
Daí
e
. Logo
Agora escrevemos a soma parcial até
:
Essa soma é telescópica: ao expandir os primeiros termos fica claro que a maioria cancela. Fazendo a soma aparece
Tomando o limite quando
,
Passo 4
Calcular
.
Esta é uma série geométrica com termo geral
com
. A soma parcial até
de uma geométrica com razão
é
Substituindo
obtemos
Tomando o limite
,
Passo 5
Somando os resultados das duas séries:
Boa! As contas telescoparam e a geométrica fechou certinho — resultado simples e agradável.