Encontre a solução particular das EDO’s:
Passo 1
O enunciado pede encontrar uma solução particular da EDO
Informações dadas e úteis:
- A equação é linear, de coeficientes constantes, de segunda ordem.
- O termo não-homogêneo (lado direito) é um polinômio de grau
: . - A incógnita é
.
Passo 2
Escolheremos um método adequado: método dos coeficientes indefinidos (undetermined coefficients). Justificativa breve e intuitiva (na prática isso é suficiente para a prova): como o lado direito é um polinômio em
e o operador diferencial tem coeficientes constantes, é natural tentar uma solução particular também polinomial de grau igual ao do lado direito, salvo necessidade de multiplicar por potências de
se houver ressonância com soluções da homogênea. Vamos verificar a presença de ressonância.
Passo 3
Estudo rápido da homogênea para checar ressonância. A equação homogênea é
A equação característica é
cujas raízes são
e
. Portanto as soluções da homogênea são
. Como nenhuma dessas soluções é um polinômio em
, não há ressonância com o termo polinomial do lado direito. Conclusão: podemos tentar uma solução particular polinomial de grau
sem multiplicar por
.
Passo 4
Postular a forma da solução particular. Seja
onde
são constantes a determinar. Agora calcule as derivadas necessárias:
Passo 5
Substituir
na equação e simplificar. Temos
Reescrevendo como polinômio em
:
Isso deve ser igual ao lado direito
. Portanto igualamos coeficientes dos termos correspondentes dos polinômios.
Passo 6
Igualando coeficientes termo a termo:
- Coeficiente de
: . - Coeficiente de
: . - Coeficiente constante:
. Substituindo obtemos , então e daí .
Passo 7
Portanto os coeficientes são
,
,
. A solução particular encontrada é
Verificação rápida (opcional):
e
, que coincide com o lado direito, confirmando que
está correta.