Encontre a solução particular das EDO’s:
y^{\prime \prime}-y=t^{2}+t+1

Passo 1

O enunciado pede encontrar uma solução particular da EDO
y''-y=t^{2}+t+1.
Informações dadas e úteis:
  • A equação é linear, de coeficientes constantes, de segunda ordem.
  • O termo não-homogêneo (lado direito) é um polinômio de grau 2: t^{2}+t+1.
  • A incógnita é y(t).

Passo 2

Escolheremos um método adequado: método dos coeficientes indefinidos (undetermined coefficients). Justificativa breve e intuitiva (na prática isso é suficiente para a prova): como o lado direito é um polinômio em t e o operador diferencial tem coeficientes constantes, é natural tentar uma solução particular também polinomial de grau igual ao do lado direito, salvo necessidade de multiplicar por potências de t se houver ressonância com soluções da homogênea. Vamos verificar a presença de ressonância.

Passo 3

Estudo rápido da homogênea para checar ressonância. A equação homogênea é
y''-y=0.
A equação característica é
r^{2}-1=0,
cujas raízes são r=1 e r=-1. Portanto as soluções da homogênea são y_h=C_{1}e^{t}+C_{2}e^{-t}. Como nenhuma dessas soluções é um polinômio em t, não há ressonância com o termo polinomial do lado direito. Conclusão: podemos tentar uma solução particular polinomial de grau 2 sem multiplicar por t.

Passo 4

Postular a forma da solução particular. Seja
y_{p}(t)=A t^{2}+B t + C,
onde A,B,C são constantes a determinar. Agora calcule as derivadas necessárias:
y_{p}'(t)=2A t + B,
y_{p}''(t)=2A.

Passo 5

Substituir y_{p} na equação e simplificar. Temos
y_{p}''-y_{p}=2A-(A t^{2}+B t + C).
Reescrevendo como polinômio em t:
y_{p}''-y_{p} = -A t^{2} - B t + (2A - C).
Isso deve ser igual ao lado direito t^{2}+t+1. Portanto igualamos coeficientes dos termos correspondentes dos polinômios.

Passo 6

Igualando coeficientes termo a termo:
  • Coeficiente de t^{2}: -A = 1 \Rightarrow A = -1.
  • Coeficiente de t: -B = 1 \Rightarrow B = -1.
  • Coeficiente constante: 2A - C = 1. Substituindo A=-1 obtemos 2(-1)-C=1, então -2 - C = 1 e daí C = -3.

Passo 7

Portanto os coeficientes são A=-1, B=-1, C=-3. A solução particular encontrada é
y_{p}(t)=-t^{2}-t-3.
Verificação rápida (opcional): y_{p}''=-2 e y_{p}''-y_{p}=-2-(-t^{2}-t-3)=t^{2}+t+1, que coincide com o lado direito, confirmando que y_{p} está correta.

Resposta

y_{p}(t)=-t^{2}-t-3

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