Exercício 1.12. Determine se as séries convergem ou divergem:
\quad 1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt[3]{3}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt[n]{n}}+\cdots

Passo 1

Vou reescrever claramente o que o enunciado pede e as informações dadas. O enunciado nos pede para determinar se a série
1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt[3]{3}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt[n]{n}}+\cdots
converge ou diverge. A informação relevante é a expressão geral dos termos: o n-ésimo termo é \dfrac{1}{\sqrt[n]{n}}.

Passo 2

Defino o n-ésimo termo da série para trabalhar com ele com clareza. Seja
a_n=\frac{1}{\sqrt[n]{n}}.
É conveniente escrever esse termo usando potência para manipular melhor:
a_n=n^{-1/n}.

Passo 3

Lembrete importante (teste necessário para convergência): se uma série \sum a_n converge então necessariamente o termo geral a_n tende a 0 quando n\to\infty. Ou seja, um teste rápido é verificar
\lim_{n\to\infty} a_n.
Se esse limite não for 0, a série diverge imediatamente. Essa é a chamada contrapartida do teste do termo geral (ou teste da condição necessária).

Passo 4

Calculemos o limite \lim_{n\to\infty} a_n. Para isso é útil aplicar o logaritmo e usar exponenciais. Temos
a_n=n^{-1/n}=\exp\big(\ln(n^{-1/n})\big)=\exp\!\big(-\tfrac{\ln n}{n}\big).
Logo
\ln a_n=-\frac{\ln n}{n}.

Passo 5

Agora calculamos o limite de -\dfrac{\ln n}{n} quando n\to\infty. Considere a função contínua \dfrac{\ln x}{x} para x>0. Usando L’Hôpital (ou o fato de que \ln x cresce muito mais devagar que x), obtemos
\lim_{x\to\infty}\frac{\ln x}{x}=0,
pois as derivadas dão \lim_{x\to\infty}\dfrac{1/x}{1}=0. Portanto
\lim_{n\to\infty}\ln a_n=\lim_{n\to\infty}\left(-\frac{\ln n}{n}\right)=0.
Da continuidade da função exponencial segue
\lim_{n\to\infty}a_n=\exp\big(\lim_{n\to\infty}\ln a_n\big)=\exp(0)=1.

Passo 6

Interpretação: o n-ésimo termo a_n tende a 1, e não a 0. Pelo teste necessário à convergência de séries (Passo 3), isso já é suficiente para concluir que a série diverge. Intuitivamente, os termos não ficam pequenos: mesmo para n muito grande, n^{1/n} se aproxima de 1, então 1/\sqrt[n]{n} fica perto de 1; somar infinitos termos que ficam próximos de 1 dá uma soma infinita.

Resposta

A série diverge.

Exercícios relacionados