Exercício 1.12. Determine se as séries convergem ou divergem:
Passo 1
Vou reescrever claramente o que o enunciado pede e as informações dadas. O enunciado nos pede para determinar se a série
converge ou diverge. A informação relevante é a expressão geral dos termos: o
-ésimo termo é
.
Passo 2
Defino o
-ésimo termo da série para trabalhar com ele com clareza. Seja
É conveniente escrever esse termo usando potência para manipular melhor:
Passo 3
Lembrete importante (teste necessário para convergência): se uma série
converge então necessariamente o termo geral
tende a
quando
. Ou seja, um teste rápido é verificar
Se esse limite não for
, a série diverge imediatamente. Essa é a chamada contrapartida do teste do termo geral (ou teste da condição necessária).
Passo 4
Calculemos o limite
. Para isso é útil aplicar o logaritmo e usar exponenciais. Temos
Logo
Passo 5
Agora calculamos o limite de
quando
. Considere a função contínua
para
. Usando L’Hôpital (ou o fato de que
cresce muito mais devagar que
), obtemos
pois as derivadas dão
. Portanto
Da continuidade da função exponencial segue
Passo 6
Interpretação: o
-ésimo termo
tende a
, e não a
. Pelo teste necessário à convergência de séries (Passo 3), isso já é suficiente para concluir que a série diverge. Intuitivamente, os termos não ficam pequenos: mesmo para
muito grande,
se aproxima de
, então
fica perto de
; somar infinitos termos que ficam próximos de
dá uma soma infinita.
Resposta
A série diverge.