Resolva a equação diferencial abaixo:
(x \cos y) d y+(x+2) \sin y d x=0

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial
(x \cos y)\,d y+(x+2)\sin y\,d x=0.
O que se pede: encontrar a solução geral implícita y(x) (ou uma relação implícita entre x e y) que satisfaça essa equação diferencial.
Informações dadas (recolhidas do enunciado):
  • Coeficiente de d x é (x+2)\sin y.
  • Coeficiente de d y é x\cos y.

Passo 2

Coloco a equação na forma padrão M(x,y)\,d x+N(x,y)\,d y=0. Assim:
M(x,y)=(x+2)\sin y,\qquad N(x,y)=x\cos y.
Testo se a equação é exata: calculo as derivadas parciais
\frac{\partial M}{\partial y}=(x+2)\cos y, \qquad \frac{\partial N}{\partial x}=\cos y.
Como (x+2)\cos y\neq\cos y em geral, a equação NÃO é exata.

Passo 3

Procuro um fator integrante que dependa só de x. O teste prático é verificar se
\frac{\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}}{N}
é função apenas de x. Calculo:
\frac{\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}}{N} =\frac{(x+2)\cos y-\cos y}{x\cos y} =\frac{x+1}{x}=1+\frac{1}{x},
que depende só de x. Logo existe um fator integrante \mu(x).
O fator integrante é dado por
\mu(x)=\exp\!\left(\int\left(1+\frac{1}{x}\right)\,dx\right).
Calculo a integral:
\int\left(1+\frac{1}{x}\right)\,dx = x+\ln|x|.
Portanto, posso escolher
\mu(x)=e^{x}\,|x|.
Como multiplicar por uma constante ou por -1 não altera a família de soluções implícitas, uso a escolha prática
\mu(x)=x e^{x},
assumindo x\neq0 (o caso x=0 será comentado ao final).

Passo 4

Multiplico a equação original por \mu(x)=x e^{x}. Os novos coeficientes são
\widetilde{M}(x,y)=x e^{x}(x+2)\sin y, \qquad \widetilde{N}(x,y)=x e^{x}\cdot x\cos y = x^{2} e^{x}\cos y.
Verifico exatidão:
\frac{\partial\widetilde{M}}{\partial y}=x e^{x}(x+2)\cos y, \qquad \frac{\partial\widetilde{N}}{\partial x} =\cos y\cdot\frac{d}{dx}\big(x^{2}e^{x}\big) =\cos y\cdot e^{x}(x^{2}+2x) = x e^{x}(x+2)\cos y.
Como as derivadas parciais coincidem, a equação multiplicada por \mu é exata.

Passo 5

Como a equação é exata, existe uma função potencial \Phi(x,y) tal que
\frac{\partial \Phi}{\partial x}=\widetilde{M}(x,y)=x e^{x}(x+2)\sin y.
Integro em relação a x, tratando y como constante:
\Phi(x,y)=\sin y\int (x^{2}+2x)e^{x}\,dx + H(y),
onde H(y) é uma função arbitrária de y.
Agora calculo a integral \int (x^{2}+2x)e^{x}\,dx com detalhes (para você saber fazer na prova):
  1. Primeiro \int x^{2}e^{x}\,dx. Uso integração por partes: tome u=x^{2}, dv=e^{x}dx. Então du=2x\,dx, v=e^{x}. Assim
\int x^{2}e^{x}\,dx = x^{2}e^{x}-\int 2x e^{x}\,dx.
  1. Agora \int 2x e^{x}\,dx = 2\int x e^{x}\,dx. De novo por partes: para \int x e^{x}\,dx tome u=x, dv=e^{x}dx. Então \int x e^{x}\,dx = x e^{x}-\int e^{x}\,dx = x e^{x}-e^{x}. Multiplico por 2:
\int 2x e^{x}\,dx = 2x e^{x}-2e^{x}.
  1. Substituo de volta:
\int x^{2}e^{x}\,dx = x^{2}e^{x} - (2x e^{x}-2e^{x}) = e^{x}(x^{2}-2x+2).
  1. Finalmente
\int (x^{2}+2x)e^{x}\,dx = e^{x}(x^{2}-2x+2) + (2x e^{x}-2e^{x}) = e^{x}x^{2}.
(Aqui os termos intermediários cancelam, deixando e^{x}x^{2}.)
Portanto
\Phi(x,y)=\sin y\cdot e^{x}x^{2}+H(y).

Passo 6

Agora imponho \frac{\partial\Phi}{\partial y}=\widetilde{N}(x,y)=x^{2}e^{x}\cos y. Calculo
\frac{\partial\Phi}{\partial y}=e^{x}x^{2}\cos y + H'(y).
Igualando às componentes:
e^{x}x^{2}\cos y + H'(y) = x^{2}e^{x}\cos y \quad\Longrightarrow\quad H'(y)=0.
Logo H(y) é constante. Denoto essa constante por C.
Portanto a solução implícita geral é
\Phi(x,y)=e^{x}x^{2}\sin y = C.

Passo 7

Comentários finais e domínio: a solução geral implícita é \;x^{2}e^{x}\sin y=C. O fator integrante usado foi \mu(x)=x e^{x}, válido para x\neq0; para x=0 a equação original se reduz a 2\sin y\,dx=0, o que força dx=0 se \sin y\neq0 (caso degenerado). Na prática, a família x^{2}e^{x}\sin y=C contém as soluções relevantes em intervalos onde x\neq0.
Coragem — a técnica principal aqui é testar exatidão e, ao falhar, verificar fatores integrantes de função única de x ou y; aqui deu certinho para \mu(x).

Resposta

x^{2}e^{x}\sin y=C

Exercícios relacionados