Resolva a equação diferencial abaixo:
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial
O que se pede: encontrar a solução geral implícita
(ou uma relação implícita entre
e
) que satisfaça essa equação diferencial.
Informações dadas (recolhidas do enunciado):
- Coeficiente de
é . - Coeficiente de
é .
Passo 2
Coloco a equação na forma padrão
. Assim:
Testo se a equação é exata: calculo as derivadas parciais
Como
em geral, a equação NÃO é exata.
Passo 3
Procuro um fator integrante que dependa só de
. O teste prático é verificar se
é função apenas de
. Calculo:
que depende só de
. Logo existe um fator integrante
.
O fator integrante é dado por
Calculo a integral:
Portanto, posso escolher
Como multiplicar por uma constante ou por
não altera a família de soluções implícitas, uso a escolha prática
assumindo
(o caso
será comentado ao final).
Passo 4
Multiplico a equação original por
. Os novos coeficientes são
Verifico exatidão:
Como as derivadas parciais coincidem, a equação multiplicada por
é exata.
Passo 5
Como a equação é exata, existe uma função potencial
tal que
Integro em relação a
, tratando
como constante:
onde
é uma função arbitrária de
.
Agora calculo a integral
com detalhes (para você saber fazer na prova):
- Primeiro
. Uso integração por partes: tome , . Então , . Assim
- Agora
. De novo por partes: para tome , . Então . Multiplico por :
- Substituo de volta:
- Finalmente
(Aqui os termos intermediários cancelam, deixando
.)
Portanto
Passo 6
Agora imponho
. Calculo
Igualando às componentes:
Logo
é constante. Denoto essa constante por
.
Portanto a solução implícita geral é
Passo 7
Comentários finais e domínio: a solução geral implícita é
. O fator integrante usado foi
, válido para
; para
a equação original se reduz a
, o que força
se
(caso degenerado). Na prática, a família
contém as soluções relevantes em intervalos onde
.
Coragem — a técnica principal aqui é testar exatidão e, ao falhar, verificar fatores integrantes de função única de
ou
; aqui deu certinho para
.