Nos exercícios 1-32, (a) determine o raio e o intervalo de convergência da série. Para quais valores de x a série converge (b) absolutamente e © condicionalmente?
sumn=1^infty (x+pi)^nraizn

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma série infinita: sumn=1^infty (x+pi)^nraizn. A tarefa aqui é descobrir duas coisas principais:
a) Raio e intervalo de convergência: Isso significa que a gente precisa achar até onde a série funciona, ou seja, para quais valores de x ela dá certo.
b) Convergência absoluta e condicional: Aqui, a gente vai ver para quais valores de x a série converge de forma bem certinha (absoluta) ou se depende de alguma condição (condicional).
Para resolver isso, vamos precisar usar alguns conceitos de séries infinitas, especialmente o Teste da Razão para achar o raio de convergência e depois analisar a convergência absoluta e condicional.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o raio de convergência usando o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a determinar para quais valores de x a série vai “convergir”, ou seja, dar um valor finito.
A série é: sumn=1^infty (x+pi)^nraizn.
Aplicando o Teste da Razão, a gente olha para o limite de |an+1/an| quando n vai para o infinito.
limn to infty | (x+pi)^n+1/raizn+1(x+pi)^n/raizn | = limn to infty |x+pi| cdot raiznn+1 = |x+pi| cdot 1 = |x+pi|
Para a série convergir, esse limite precisa ser menor que 1:
|x+pi| < 1

Passo 3

Agora, vamos determinar o intervalo de convergência a partir dessa desigualdade:
|x+pi| < 1 implies -1 < x + pi < 1
Subtraindo pi de todos os lados:
-1 - pi < x < 1 - pi
Então, o intervalo de convergência é ( -1 - pi, 1 - pi ).
O raio de convergência R é simplesmente o valor que está dentro do módulo na desigualdade original, que é 1.

Passo 4

Agora vamos verificar a convergência nos extremos do intervalo, ou seja, quando x = -1 - pi e x = 1 - pi.
  1. Para x = -1 - pi:
A série fica:
sumn=1^infty (-1)^nraizn
Essa é uma série alternada. Para verificar a convergência, usamos o Teste da Série Alternada, que diz que se os termos bn = 1raizn são decrescentes e tendem a zero, a série converge. De fato, bn é decrescente e limn to infty bn = 0, então a série converge condicionalmente.
  1. Para x = 1 - pi:
A série fica:
sumn=1^infty 1^nraizn = sumn=1^infty 1raizn
Essa é uma série p com p = 12. Sabemos que uma série p converge se p > 1, mas aqui p = 12 < 1, então a série diverge.

Resposta

O raio de convergência é 1 e o intervalo de convergência é ( -1 - pi, 1 - pi ). A série converge absolutamente para todos os x dentro desse intervalo. Além disso, no ponto x = -1 - pi, a série converge condicionalmente, enquanto no ponto x = 1 - pi a série diverge.

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