Encontre uma solução particular das equações dadas:
y^(3)+4 y^prime=3 x-1

Passo 1

O enunciado pede uma solução particular para a equação diferencial linear de coeficientes constantes
y^(3) + 4y' = 3x - 1
O conteúdo aqui é o método dos coeficientes a determinar: vamos supor uma forma para yp e ajustar seus coeficientes para satisfazer a equação.

Passo 2

Formamos o polinômio característico da parte homogênea y^(3)+4y'=0:
r^3 + 4r = r(r^2+4)=0,
cuja raiz r=0 é simples. Como o termo não-homogêneo 3x-1 é um polinômio de grau 1 e r=0 coincide com a exponencial e^0x=1 (resonância de ordem 1), o ansatz precisa ser multiplicado por x.

Passo 3

Sem ressonância, para grau 1 usaríamos Ax+B, mas devido à raiz zero simples multiplicamos por x. Logo escolhemos
yp(x) = C,x^2 + D,x

Passo 4

Calculamos as derivadas:
yp' = 2C,x + D, yp'' = 2C, yp^(3) = 0

Passo 5

Substituímos em y^(3)+4y'=3x-1:
0 + 4l(2C,x + Dr) = 3x - 1 ;Longrightarrow; 8C,x + 4D = 3x - 1
Igualando coeficientes de x e termo constante:
8C = 3, 4D = -1 ;Longrightarrow; C = tfrac38, D = -tfrac14

Resposta

Uma solução particular é
yp(x) = 38,x^2 - 14,x

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