Determine a derivada da função. Apresente os cálculos para resolução.
f(x)=2 x^3+5x^2-1

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=2x^3+5x^2-1
O conteúdo que vamos usar é a regra do quociente e as regras básicas de derivação (potência e constante).

Passo 2

Definimos
g(x)=2x^3+5, h(x)=x^2-1
Pela regra do quociente,
f'(x) =g'(x),h(x)-g(x),h'(x)l(h(x)r)^2

Passo 3

Calculamos as derivadas de g e h:
g'(x)=ddx(2x^3+5)=6x^2, h'(x)=ddx(x^2-1)=2x

Passo 4

Substituindo em f'(x):
f'(x) =6x^2,(x^2-1)-(2x^3+5),2x(x^2-1)^2
Expandindo o numerador:
6x^2(x^2-1)=6x^4-6x^2, (2x^3+5),2x=4x^4+10x,
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6x^4-6x^2-(4x^4+10x) =2x^4-6x^2-10x

Passo 5

Fatorando o numerador em 2x:
2x^4-6x^2-10x=2x,(x^3-3x-5)
Portanto a forma simplificada de f'(x) é
f'(x)=2x,(x^3-3x-5)(x^2-1)^2

Resposta

f'(x)=2x,(x^3-3x-5)(x^2-1)^2

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