Encontre uma solução particular das equações dadas:
y^prime prime+16 y=e^3 x

Passo 1

O enunciado pede uma solução particular para a equação diferencial linear
y'' + 16,y = e^3x
Aqui o conteúdo é o método dos coeficientes a determinar (undetermined coefficients), pois o termo não-homogêneo e^3x sugere um palpite da forma yp = A,e^3x.

Passo 2

Antes de tudo, verificamos que a raiz r=3 não anula o polinômio característico da parte homogênea
r^2 + 16 = 0Longrightarrow r = pm 4,i
Como 3 não é solução dessa equação, nosso palpite
yp(x) = A,e^3x
é válido sem precisar multiplicar por x.

Passo 3

Calculamos as derivadas de yp:
yp'(x) = 3A,e^3x, yp''(x) = 9A,e^3x

Passo 4

Substituímos na equação original:
yp'' + 16,yp = 9A,e^3x + 16A,e^3x = (9A + 16A),e^3x = 25A,e^3x
Essa soma deve ser igual a e^3x, logo
25A,e^3x = e^3x Longrightarrow 25A = 1 Longrightarrow A = tfrac125

Resposta

A solução particular é
yp(x) = 125,e^3x

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