Encontre a solução particular e depois escreva a solução geral. Para
.
Passo 1
Temos a equação diferencial não-homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
$$
y’’+4y’+4y=t{-2}e{-2t},$$
para . O conteúdo é EDO linear de 2º ordem; vamos precisar achar primeiro a solução homogênea e depois uma solução particular, usando variação de parâmetros.
para
Passo 2
A equação característica associada à parte homogênea
é
$$
r^2+4r+4=0,
y_h=C_1e{-2t}+C_2te{-2t}.$$
Passo 3
Como o termo não-homogêneo é
, o método dos coeficientes a indeterminados não é direto. Vamos usar variação de parâmetros com as soluções fundamentais
O wronskiano é
$$
W=y_1y_2’-y_1’y_2=e{-2t}[(1-2t)e{-2t}]-(-2e{-2t})(te{-2t})=e^{-4t}.$$
Passo 4
Para variação de parâmetros definimos
sendo
. Então
Integrando,
Passo 5
A solução particular é
Portanto a solução geral é
Resposta
y= e^{-2t}\bigl(C_1 +C_2t -\ln t -1\bigr)