Encontre a solução particular e depois escreva a solução geral. Para iota>0.
y^prime prime+4 y^prime+4 y=t^-2 e^-2 t

Passo 1

Temos a equação diferencial não-homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
$$
y’’+4y’+4y=t{-2}e{-2t},$$
para y''+4y'+4y=t^-2e^-2t,. O conteúdo é EDO linear de 2º ordem; vamos precisar achar primeiro a solução homogênea e depois uma solução particular, usando variação de parâmetros.

Passo 2

A equação característica associada à parte homogênea y''+4y'+4y=0 é
$$
r^2+4r+4=0, r^2+4r+4=0,úéçãêé
y_h=C_1e{-2t}+C_2te{-2t}.$$

Passo 3

Como o termo não-homogêneo é t^-2e^-2t, o método dos coeficientes a indeterminados não é direto. Vamos usar variação de parâmetros com as soluções fundamentais
y1=e^-2t, y2=te^-2t
O wronskiano é
$$
W=y_1y_2’-y_1’y_2=e{-2t}[(1-2t)e{-2t}]-(-2e{-2t})(te{-2t})=e^{-4t}.$$

Passo 4

Para variação de parâmetros definimos
u1'=-f(t),y2W, nu2'=f(t),y1W,
sendo f(t)=t^-2e^-2t. Então
nu1'=-t^-2e^-2tcdot(te^-2t)e^-4t=-1t, nu2'=t^-2e^-2tcdot e^-2te^-4t=t^-2
Integrando,
nu1=- integraldtt=- ln t, nu2=- integral t^-2dt=-1t

Passo 5

A solução particular é
yp=nu1y1+nu2y2=-(ln t)e^-2t-1t,(te^-2t)=-e^-2t(ln t+1)
Portanto a solução geral é
y=yh+yp=C1e^-2t+C2te^-2t-e^-2t(ln t+1)

Resposta

y= e^{-2t}\bigl(C_1 +C_2t -\ln t -1\bigr)

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