Resolva o problema de valor inicial com condições iniciais y(0)=1 e y^prime(0)=1 - equação diferencial
y^prime prime-y^prime+y=t e^t+2

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
com a equação
y''-y'+y = t e^t + 2
e as condições iniciais y(0)=1 e y'(0)=1. É um EDO linear de 2ª ordem com coeficientes constantes; vamos precisar da solução da homogênea (equaçãocaracterística) e de uma solução particular por coeficientes indeterminados.

Passo 2

A parte homogênea satisfaz a equação característica
r^2 - r + 1 = 0
Suas raízes são
r = 12 pm iraiz32
Logo a solução geral da homogênea é
yh(t) = e^t/2l(C1cos(tfracraiz32t)+C2sin(tfracraiz32t)r)

Passo 3

Para a parte particular, fazemos o palpite
tilde yp(t) = (At+B)e^t + D
Calculando as derivadas e substituindo em y''-y'+y obtemos
yp''-yp'+yp = e^t(At + A + B) + D
Isso deve igualar t e^t + 2. Comparando coeficientes de t e^t, de e^t e do termo constante, achamos
A=1, B=-1, D=2
Então
yp(t) = (t-1)e^t + 2

Passo 4

A solução geral é
y(t)=yh(t)+yp(t) = e^t/2l(C1cos(tfracraiz32t)+C2sin(tfracraiz32t)r)+(t-1)e^t+2
Impondo y(0)=1 C1+1=1 logo C1=0. Para y'(0)=1, calculamos separadamente a derivada da parte homogênea e da particular e obtemos C2=2/raiz3.

Resposta

y(t)=2raiz3,e^t/2sinl(tfracraiz32tr)+(t-1)e^t+2

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