Seja f(x, y, z)=x^2 y^4 z^3+x y+z^3+1. Determine:
b) fy(x, y, z)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada parcial de f em relação a y. A função é f(x,y,z)=x{2}y{4}z{3}+xy+z{3}+1. O conteúdo aqui é derivada parcial: tratamos x e z como constantes e derivamos em relação a y usando a regra do poder e a linearidade.

Passo 2

Para o primeiro termo, aplicamos a regra do poder. Como x^{2} e z^{3} são constantes em relação a y, temos:
A derivada de x{2}y{4}z^{3} em relação a y é x{2}z{3} vezes a derivada de y^{4}, ou seja,
partialpartial y(x^2y^4z^3)=x^2z^3cdot4y^3=4x^2y^3z^3

Passo 3

Para o segundo termo, xy, x é constante, então
partialpartial y(xy)=x

Passo 4

Os termos z^{3} e 1 não dependem de y, então suas derivadas são zero.

Passo 5

Somando as derivadas parciais de cada termo, obtemos f_{y}(x,y,z)=4x{2}y{3}z^{3}+x.

Resposta

f_{y}(x,y,z)=4x{2}y{3}z^{3}+x

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