Determine
e
.
33.
33.
Passo 1
O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de
f(x,y,z)=arctg\bigl(1/(x^2 y z^3)\bigr). O conteúdo é a regra da cadeia para funções compostas e derivada de potência.
f(x,y,z)=arctg\bigl(1/(x^2 y z^3)\bigr). O conteúdo é a regra da cadeia para funções compostas e derivada de potência.
Passo 2
Vamos usar a notação u(x,y,z)=1/(x^2 y z3)=x{-2}y{-1}z{-3} e g(u)=arctg(u). Pela regra da cadeia, temos
onde g’(u)=1/(1+u^2).
Passo 3
Derivando u em relação a x: como u=x{-2}y{-1}z^{-3},
Logo,
Passo 4
Derivando u em relação a y: como u=x{-2}y{-1}z^{-3},
Logo,
Passo 5
Derivando u em relação a z: como u=x{-2}y{-1}z^{-3},
Logo,
Resposta
f_x = \dfrac{-2x{-3}y{-1}z^{-3}}{1 + x{-4}y{-2}z^{-6}}, \quad f_y = \dfrac{-x{-2}y{-2}z^{-3}}{1 + x{-4}y{-2}z^{-6}}, \quad f_z = \dfrac{-3x{-2}y{-1}z^{-4}}{1 + x{-4}y{-2}z^{-6}}