Determine fx, fy e fz.
33. f(x, y, z)=arctg(1x^2 y z^3)

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de
f(x,y,z)=arctg\bigl(1/(x^2 y z^3)\bigr). O conteúdo é a regra da cadeia para funções compostas e derivada de potência.

Passo 2

Vamos usar a notação u(x,y,z)=1/(x^2 y z3)=x{-2}y{-1}z{-3} e g(u)=arctg(u). Pela regra da cadeia, temos
partial fpartial x=g'(u)cdotpartial upartial x,
onde g’(u)=1/(1+u^2).

Passo 3

Derivando u em relação a x: como u=x{-2}y{-1}z^{-3},
partial upartial x=-2x^-3y^-1z^-3
Logo,
partial fpartial x=-2x^-3y^-1z^-31+u^2=-2x^-3y^-1z^-31+x^-4y^-2z^-6

Passo 4

Derivando u em relação a y: como u=x{-2}y{-1}z^{-3},
partial upartial y=-x^-2y^-2z^-3
Logo,
partial fpartial y=-x^-2y^-2z^-31+u^2=-x^-2y^-2z^-31+x^-4y^-2z^-6

Passo 5

Derivando u em relação a z: como u=x{-2}y{-1}z^{-3},
partial upartial z=-3x^-2y^-1z^-4
Logo,
partial fpartial z=-3x^-2y^-1z^-41+u^2=-3x^-2y^-1z^-41+x^-4y^-2z^-6

Resposta

f_x = \dfrac{-2x{-3}y{-1}z^{-3}}{1 + x{-4}y{-2}z^{-6}}, \quad f_y = \dfrac{-x{-2}y{-2}z^{-3}}{1 + x{-4}y{-2}z^{-6}}, \quad f_z = \dfrac{-3x{-2}y{-1}z^{-4}}{1 + x{-4}y{-2}z^{-6}}

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