Encontre a solução particular e depois escreva a solução geral. Para
.
Passo 1
O enunciado pede para achar uma solução particular e depois a geral da EDO linear de 2º ordem com coeficientes constantes
O conteúdo é equação diferencial linear de segunda ordem não-homogênea; vamos usar primeiro a solução homogênea (raízes da equação característica) e em seguida variação de parâmetros para obter a particular.
Passo 2
Começamos pela solução homogênea. A equação característica é
cuja soluções são
Logo a solução geral homogênea é
Passo 3
Escolhemos as bases fundamentais
O wronskiano é
Passo 4
Agora aplicamos variação de parâmetros. Se escrevemos
então as derivadas satisfazem
onde
. Substituindo, obtemos
Passo 5
Integramos para achar
e
, e montamos
. Ficamos com
portanto
que em forma explícita vira
Passo 6
Finalmente, a solução geral da equação original é a soma da homogênea com a particular:
válida para
.
Resposta
A solução geral é
onde