Encontre a solução particular e depois escreva a solução geral. Para t>0.
y^prime prime+a y^prime+b y=t^-2 e^-2 t

Passo 1

O enunciado pede para achar uma solução particular e depois a geral da EDO linear de 2º ordem com coeficientes constantes
y'' + a,y' + b,y = t^-2,e^-2t, t>0,
O conteúdo é equação diferencial linear de segunda ordem não-homogênea; vamos usar primeiro a solução homogênea (raízes da equação característica) e em seguida variação de parâmetros para obter a particular.

Passo 2

Começamos pela solução homogênea. A equação característica é
r^2 + a,r + b = 0,
cuja soluções são
r1,2 = -a pm raiza^2 - 4b2
Logo a solução geral homogênea é
yh(t) = C1 e^r1 t + C2 e^r2 t

Passo 3

Escolhemos as bases fundamentais
y1(t) = e^r1 t,
y2(t) = e^r2 t
O wronskiano é
W(t) = y1 y2' - y1' y2 = (r2 - r1)e^(r1 + r2)t = (r2 - r1)e^-a t

Passo 4

Agora aplicamos variação de parâmetros. Se escrevemos
yp = u1(t),y1(t) + u2(t),y2(t),
então as derivadas satisfazem
u1'(t) = -y2(t),f(t)W(t),
u2'(t) = y1(t),f(t)W(t),
onde f(t)=t^-2e^-2t. Substituindo, obtemos
u1'(t) = -1r2 - r1,t^-2e^-(r1+2)t,
u2'(t) = 1r2 - r1,t^-2e^-(r2+2)t

Passo 5

Integramos para achar u1 e u2, e montamos yp. Ficamos com
u1(t) = -1r2 - r1integral t^-2e^-(r1+2)t,dt,
u2(t) = 1r2 - r1integral t^-2e^-(r2+2)t,dt,
portanto
yp(t) = e^r1 t,u1(t) + e^r2 t,u2(t)
que em forma explícita vira
yp(t) = -e^r1 tr2 - r1integral t^-2e^-(r1+2)t,dt + e^r2 tr2 - r1integral t^-2e^-(r2+2)t,dt

Passo 6

Finalmente, a solução geral da equação original é a soma da homogênea com a particular:
y(t) = C1e^r1 t + C2e^r2 t -e^r1 tr2 - r1integral t^-2e^-(r1+2)t,dt + e^r2 tr2 - r1integral t^-2e^-(r2+2)t,dt,
válida para t>0.

Resposta

A solução geral é
y(t) = C1e^r1 t + C2e^r2 t -e^r1 tr2 - r1integral t^-2e^-(r1+2)t,dt + e^r2 tr2 - r1integral t^-2e^-(r2+2)t,dt,
onde
r1,2 = -a pm raiza^2 - 4b2

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