A tabela seguinte apresenta a velocidade de queda de um paraquedista em função do tempo:
Tempo(s) 1 3 5 7 20
Velocidade (cm / s) 800 2310 3090 3940 8000
  • Estime o valor da velocidade no instante t=10 s, utilizando um polinômio interpolador de grau 3.
  • Calcule uma aproximação do erro cometido.

Passo 1

O enunciado pede para estimar a velocidade de um paraquedista em t=10 0 0s usando um polinômio interpolador de grau 3 a partir dos dados de tempo e velocidade, e depois calcular uma aproximação do erro dessa estimativa. Vamos usar o método de Newton com diferenças divididas.

Passo 2

Como 10 0 0s está entre 7 0 0s e 20 0 0s, escolhemos os quatro pontos mais próximos para reduzir o erro de extrapolação: (t₀,v₀)=(3,2310), (t₁,v₁)=(5,3090), (t₂,v₂)=(7,3940) e (t₃,v₃)=(20,8000).
Computamos as primeiras diferenças divididas:
[ f[x₀,x₁] = \frac{3090 - 2310}{5 - 3} = 390 ]
[ f[x₁,x₂] = \frac{3940 - 3090}{7 - 5} = 425 ]
[ f[x₂,x₃] = \frac{8000 - 3940}{20 - 7} \approx 312.3077 ]

Passo 3

Depois as segundas diferenças:
[ f[x₀,x₁,x₂] = \frac{425 - 390}{7 - 3} = 8.75 ]
[ f[x₁,x₂,x₃] = \frac{312.3077 - 425}{20 - 5} \approx -7.51282 ]

Passo 4

E a terceira diferença:
[ f[x₀,x₁,x₂,x₃] = \frac{-7.51282 - 8.75}{20 - 3} \approx -0.956634 ]

Passo 5

O polinômio de grau 3 em forma de Newton é
[ p_3(x) = 2310 + 390(x - 3) + 8.75(x - 3)(x - 5) -0.956634(x - 3)(x - 5)(x - 7) ]

Passo 6

Para x=10 0 0s temos:
[ p_3(10) = 2310 + 390\cdot7 + 8.75\cdot7\cdot5 - 0.956634\cdot7\cdot5\cdot3 ]
Calculando cada termo (390·7=2730; 8.75·35=306.25; 0.956634·105≈100.4966) obtemos
[ p_3(10) \approx 2310 + 2730 + 306.25 - 100.4966 = 5245.75 ]

Passo 7

Para aproximar o erro, construímos o polinômio de grau 4 que passa pelos cinco pontos t=1,3,5,7,20 e avaliamos em 10 0 0s, chamando-o de q₄(10). Repetindo o processo de diferenças divididas até quarta ordem, chega-se a
[ q_4(10) \approx 6221.34 ]
A diferença |q₄(10) − p₃(10)| é uma estimativa do erro cometido.
Interpretando, o polinômio de grau 3 prediz cerca de 5246 0 0cm/s em 10 0 0s, com erro em torno de 976 0 0cm/s.

Resposta

A velocidade estimada em t=10 s é aproximadamente 5246,cm/s. A aproximação do erro é cerca de 976,cm/s.

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