Encontre a solução particular das seguintes EDOs, utilizando o método dos coeficientes indeterminados
(y^{\prime \prime}-6 y^{\prime}+25 y=\sin (4 x))

Passo 1

O enunciado pede: encontrar uma solução particular da EDO linear com coeficientes constantes
y^{\prime\prime}-6y^{\prime}+25y=\sin(4x),
usando o método dos coeficientes indeterminados.
Informações dadas e o que precisamos:
  • A equação é linear e homogênea à esquerda com termo forçante à direita f(x)=\sin(4x).
  • Queremos uma solução particular y_p(x) tal que, ao substituí-la na EDO, a igualdade seja satisfeita.
  • Não é pedido a solução geral; apenas a solução particular.

Passo 2

Primeiro determinamos a solução complementar (homogênea) para entender possíveis ressonâncias. Consideramos a equação homogênea associada:
y^{\prime\prime}-6y^{\prime}+25y=0.
A equação característica é
r^{2}-6r+25=0.
Resolvendo a quadrática:
\Delta=(-6)^{2}-4\cdot1\cdot25=36-100=-64.
Como \Delta<0, as raízes são complexas:
r=\frac{6\pm\sqrt{-64}}{2}=\frac{6\pm 8i}{2}=3\pm 4i.
Para uma raiz complexa 3\pm 4i, a solução complementar tem a forma
y_c(x)=e^{3x}\big(C_1\cos(4x)+C_2\sin(4x)\big),
onde C_1,C_2 são constantes arbitrárias.

Passo 3

Escolha da forma para y_p (método dos coeficientes indeterminados):
  • O termo forçante é \sin(4x). O tipo padrão de tentativa para forçantes \cos(kx) ou \sin(kx) é
y_p(x)=A\cos(4x)+B\sin(4x),
com A,B constantes a determinar.
  • Verificação de ressonância: a solução homogênea contém funções com \cos(4x) e \sin(4x), porém multiplicadas por e^{3x}. Como o forçante não tem fator e^{3x}, não há ressonância que obrigue multiplicar por x. Portanto a forma escolhida é válida.

Passo 4

Calculemos as derivadas de y_p. Tomando
y_p(x)=A\cos(4x)+B\sin(4x),
temos
y_p'(x)=-4A\sin(4x)+4B\cos(4x),
y_p''(x)=-16A\cos(4x)-16B\sin(4x).

Passo 5

Substituímos y_p,y_p',y_p'' na expressão y''-6y'+25y e agrupamos os termos em \cos(4x) e \sin(4x):
y_p''-6y_p'+25y_p
=(-16A\cos4x-16B\sin4x)-6(-4A\sin4x+4B\cos4x)+25(A\cos4x+B\sin4x).
Agora agrupando coeficientes de \cos(4x) e \sin(4x):
coeficiente de \cos(4x):
-16A-6\cdot4B+25A=( -16A-24B+25A )=(9A-24B).
coeficiente de \sin(4x):
-16B-6(-4A)+25B=( -16B+24A+25B )=(24A+9B).
Portanto
y_p''-6y_p'+25y_p=(9A-24B)\cos(4x)+(24A+9B)\sin(4x).

Passo 6

Impondo que isso seja igual ao lado direito \sin(4x), ou seja
(9A-24B)\cos(4x)+(24A+9B)\sin(4x)=\sin(4x),
devemos igualar coeficientes de \cos(4x) e \sin(4x). Isso fornece o sistema linear:
\begin{cases} 9A-24B=0,\\[4pt] 24A+9B=1. \end{cases}]

Passo 7

Resolvemos o sistema. Da primeira equação:
9A=24B\quad\Rightarrow\quad A=\frac{24}{9}B=\frac{8}{3}B.
Substituindo na segunda:
24\!\left(\frac{8}{3}B\right)+9B=1.
Calculemos o coeficiente:
24\cdot\frac{8}{3}B= \frac{24}{3}\cdot 8B =8\cdot 8B=64B.
Logo
64B+9B=73B=1\quad\Rightarrow\quad B=\frac{1}{73}.
E então
A=\frac{8}{3}B=\frac{8}{3}\cdot\frac{1}{73}=\frac{8}{219}.

Passo 8

Escrevendo a solução particular com os valores encontrados:
y_p(x)=\frac{8}{219}\cos(4x)+\frac{1}{73}\sin(4x).

Resposta

y_p(x)=\frac{8}{219}\cos(4x)+\frac{1}{73}\sin(4x)

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