Encontre a solução particular das seguintes EDOs, utilizando o método dos coeficientes indeterminados
(y^{\prime \prime}-6 y^{\prime}+25 y=\sin (4 x))
(y^{\prime \prime}-6 y^{\prime}+25 y=\sin (4 x))
Passo 1
O enunciado pede: encontrar uma solução particular da EDO linear com coeficientes constantes
usando o método dos coeficientes indeterminados.
Informações dadas e o que precisamos:
- A equação é linear e homogênea à esquerda com termo forçante à direita
. - Queremos uma solução particular
tal que, ao substituí-la na EDO, a igualdade seja satisfeita. - Não é pedido a solução geral; apenas a solução particular.
Passo 2
Primeiro determinamos a solução complementar (homogênea) para entender possíveis ressonâncias. Consideramos a equação homogênea associada:
A equação característica é
Resolvendo a quadrática:
Como
, as raízes são complexas:
Para uma raiz complexa
, a solução complementar tem a forma
onde
são constantes arbitrárias.
Passo 3
Escolha da forma para
(método dos coeficientes indeterminados):
- O termo forçante é
. O tipo padrão de tentativa para forçantes ou é
com
constantes a determinar.
- Verificação de ressonância: a solução homogênea contém funções com
e , porém multiplicadas por . Como o forçante não tem fator , não há ressonância que obrigue multiplicar por . Portanto a forma escolhida é válida.
Passo 4
Calculemos as derivadas de
. Tomando
temos
Passo 5
Substituímos
na expressão
e agrupamos os termos em
e
:
Agora agrupando coeficientes de
e
:
coeficiente de :
coeficiente de
coeficiente de
:
Portanto
Passo 6
Impondo que isso seja igual ao lado direito
, ou seja
devemos igualar coeficientes de
e
. Isso fornece o sistema linear:
Passo 7
Resolvemos o sistema. Da primeira equação:
Substituindo na segunda:
Calculemos o coeficiente:
Logo
E então
Passo 8
Escrevendo a solução particular com os valores encontrados: