Encontre a solução particular do sistema:
l d xd t=x+3 y+e^2 t d yd t=-2 x+4 y
com x(0)=1 e y(0)=1.

Passo 1

Temos o seguinte sistema linear não homogêneo:
d xd t=x+3y+e^2t,
d yd t=-2x+4y,
com condições iniciais (x(0),y(0))=(1,1).
O conteúdo é sistemas lineares e vamos usar a decomposição em solução homogênea mais solução particular.

Passo 2

Para achar uma solução particular, tentamos o ansatz
xp=Ae^2t,
yp=Be^2t
Substituindo em cada equação e igualando coeficientes de e^2t, obtemos o sistema algébrico
2A=A+3B+1,
2B=-2A+4B
Resolvendo, achamos A=-tfrac12 e B=-tfrac12.

Passo 3

Para a parte homogênea, derivamos a primeira equação para eliminar y. Fazendo y=(dot x-x)/3 e substituindo, chega-se à equação de segunda ordem
d^2xdt^2-5dxdt+10x=0
A solução geral homogênea é
xh(t)=e^52tl(C1cos(tfracraiz152t)+C2sin(tfracraiz152t)r)

Passo 4

Usamos a relação yh=(dot xh-xh)/3 para obter
yh(t)=e^52tl(32cos(tfracraiz152t)-raiz1510sin(tfracraiz152t)r)
com constantes a determinar via condições iniciais.

Passo 5

Aplicando x(0)=1 e y(0)=1, e subtraindo a parte particular em t=0, obtemos
C1=32, C2=3raiz1510
Assim montamos a solução geral do IVP.

Resposta

As soluções são
x(t)=e^52tl(32cosl(tfracraiz152tr)+3raiz1510sinl(tfracraiz152tr)r)-tfrac12e^2t,
y(t)=e^52tl(32cosl(tfracraiz152tr)-raiz1510sinl(tfracraiz152tr)r)-tfrac12e^2t

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