Encontre a solução geral:
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a solução geral da equação diferencial
Informações dadas e objetivo:
- É uma equação diferencial linear de segunda ordem, não homogênea.
- Coeficientes constantes: os coeficientes de
são . - Termo não homogêneo (lado direito) é
. - Objetivo: obter a solução geral
, ou seja, a soma da solução geral da homogênea e de uma particular.
Passo 2
Resolver a equação homogênea associada. Escrevemos a homogênea:
Para equações lineares com coeficientes constantes usamos a equação característica. Seja
a raiz característica; substituímos
e obtemos:
Agora resolvemos essa equação quadrática. Podemos fatorar ou usar fórmula de Bhaskara. Observando os coeficientes, ela é um quadrado perfeito:
Logo a raiz é
com multiplicidade
.
Explicação didática (por que multiplicidade altera a forma das soluções):
- Se
fosse uma raiz simples, uma solução seria . - Quando
é raiz de multiplicidade , as duas soluções linearmente independentes da homogênea são e . Isto vem do método geral de reduzir a ordem e garante duas soluções independentes para a segunda ordem.
Portanto a solução geral da homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 3
Escolher um método para obter uma solução particular
da equação não homogênea. Como o termo não homogêneo é
(uma exponencial simples) e os coeficientes são constantes, o método de coeficientes indeterminados é o mais direto.
Regra prática para o método de coeficientes indeterminados (resumo didático):
- Se o lado direito é da forma
onde é um polinômio, tenta-se um do tipo , onde é polinômio de mesmo grau de com coeficientes indeterminados e é o multiplicador necessário: é a multiplicidade da raiz na equação característica.
No nosso caso: - Aqui
(polinômio constante, grau ), . - A raiz
é raiz da característica com multiplicidade .
Logo devemos multiplicar por. Assim escolhemos o ansatz
onde
é uma constante a determinar.
Passo 4
Calcular as derivadas de
. Começando de
.
Primeira derivada: usar produto
.
Segunda derivada: derivar
.
Aplicando produto e a derivada de
:
Agrupando fatores
:
Passo 5
Substituir
na equação diferencial e resolver para
.
Computamos o lado esquerdo:
Colocando fator comum
:
Agora simplificamos os termos em
e
:
- Coeficiente de
: . - Coeficiente de
: . - Termo constante:
.
Portanto sobra
Queremos que isso seja igual ao lado direito
. Assim:
Conclusão para a particular:
Passo 6
Juntar solução homogênea e particular para obter a solução geral. A solução geral é
Fatorando
se quiser uma forma mais compacta:
onde
e
são constantes arbitrárias.