Encontre a solução geral:
y^{\prime \prime}-8 y^{\prime}+16 y=2 e^{4 x}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a solução geral da equação diferencial
y^{\prime\prime}-8y^{\prime}+16y=2e^{4x}.
Informações dadas e objetivo:
  • É uma equação diferencial linear de segunda ordem, não homogênea.
  • Coeficientes constantes: os coeficientes de y^{\prime\prime},y^\prime,y são 1,-8,16.
  • Termo não homogêneo (lado direito) é 2e^{4x}.
  • Objetivo: obter a solução geral y(x), ou seja, a soma da solução geral da homogênea e de uma particular.

Passo 2

Resolver a equação homogênea associada. Escrevemos a homogênea:
y^{\prime\prime}-8y^{\prime}+16y=0.
Para equações lineares com coeficientes constantes usamos a equação característica. Seja r a raiz característica; substituímos y=e^{rx} e obtemos:
r^{2}-8r+16=0.
Agora resolvemos essa equação quadrática. Podemos fatorar ou usar fórmula de Bhaskara. Observando os coeficientes, ela é um quadrado perfeito:
r^{2}-8r+16=(r-4)^{2}=0.
Logo a raiz é r=4 com multiplicidade 2.
Explicação didática (por que multiplicidade altera a forma das soluções):
  • Se r fosse uma raiz simples, uma solução seria e^{rx}.
  • Quando r é raiz de multiplicidade 2, as duas soluções linearmente independentes da homogênea são e^{rx} e x e^{rx}. Isto vem do método geral de reduzir a ordem e garante duas soluções independentes para a segunda ordem.
    Portanto a solução geral da homogênea é
y_h(x)=\big(C_{1}+C_{2}x\big)e^{4x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.

Passo 3

Escolher um método para obter uma solução particular y_p da equação não homogênea. Como o termo não homogêneo é 2e^{4x} (uma exponencial simples) e os coeficientes são constantes, o método de coeficientes indeterminados é o mais direto.
Regra prática para o método de coeficientes indeterminados (resumo didático):
  • Se o lado direito é da forma P(x)e^{\alpha x} onde P(x) é um polinômio, tenta-se um y_p do tipo x^{m}Q(x)e^{\alpha x}, onde Q é polinômio de mesmo grau de P com coeficientes indeterminados e m é o multiplicador necessário: m é a multiplicidade da raiz \alpha na equação característica.
    No nosso caso:
  • Aqui P(x)=2 (polinômio constante, grau 0), \alpha=4.
  • A raiz \alpha=4 é raiz da característica com multiplicidade m=2.
    Logo devemos multiplicar por x^{2}. Assim escolhemos o ansatz
y_p(x)=Kx^{2}e^{4x},
onde K é uma constante a determinar.

Passo 4

Calcular as derivadas de y_p. Começando de y_p(x)=Kx^{2}e^{4x}.
Primeira derivada: usar produto x^{2}\cdot e^{4x}.
y_p' = K\frac{d}{dx}\big(x^{2}e^{4x}\big) =K\big(2x\cdot e^{4x} + x^{2}\cdot 4e^{4x}\big) =K e^{4x}\big(4x^{2}+2x\big).
Segunda derivada: derivar y_p'.
y_p'' = K\frac{d}{dx}\big(e^{4x}(4x^{2}+2x)\big).
Aplicando produto e a derivada de e^{4x}:
y_p'' = K\big(e^{4x}\cdot(8x+2) + 4e^{4x}\cdot(4x^{2}+2x)\big).
Agrupando fatores e^{4x}:
y_p'' = K e^{4x}\big(8x+2 +16x^{2}+8x\big) =K e^{4x}\big(16x^{2}+16x+2\big).

Passo 5

Substituir y_p,y_p',y_p'' na equação diferencial e resolver para K.
Computamos o lado esquerdo:
y_p''-8y_p'+16y_p =K e^{4x}\big(16x^{2}+16x+2\big) -8K e^{4x}\big(4x^{2}+2x\big) +16K x^{2}e^{4x}.
Colocando fator comum K e^{4x}:
=K e^{4x}\big(16x^{2}+16x+2 -32x^{2}-16x +16x^{2}\big).
Agora simplificamos os termos em x^{2} e x:
  • Coeficiente de x^{2}: 16-32+16=0.
  • Coeficiente de x: 16-16=0.
  • Termo constante: 2.
Portanto sobra
y_p''-8y_p'+16y_p = K e^{4x}\cdot 2 = 2K e^{4x}.
Queremos que isso seja igual ao lado direito 2e^{4x}. Assim:
2K e^{4x}=2e^{4x}\quad\Rightarrow\quad 2K=2\quad\Rightarrow\quad K=1.
Conclusão para a particular:
y_p(x)=x^{2}e^{4x}.

Passo 6

Juntar solução homogênea e particular para obter a solução geral. A solução geral é
y(x)=y_h(x)+y_p(x)=\big(C_{1}+C_{2}x\big)e^{4x}+x^{2}e^{4x}.
Fatorando e^{4x} se quiser uma forma mais compacta:
y(x)=e^{4x}\big(C_{1}+C_{2}x+x^{2}\big),
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.

Resposta

y(x)=e^{4x}\big(C_{1}+C_{2}x+x^{2}\big)

Exercícios relacionados