Encontre uma solução particular de
.
Passo 1
O enunciado pede uma solução particular da equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
O conteúdo principal aqui é o método dos coeficientes a determinar, observando que a frequência do termo forçante coincide com a da solução homogênea (ressonância).
Passo 2
Primeiro achamos a solução geral da homogênea
A equação característica é
, com raízes
.
Logo
Logo
Como o termo forçante
tem a mesma frequência, há ressonância, e devemos multiplicar o palpite padrão por
.
Passo 3
Propomos uma solução particular da forma
com
e
constantes a determinar.
Passo 4
Calculamos
. Sem detalhar passo a passo das derivadas, o resultado é
Passo 5
Para
satisfazer a equação
, igualamos coeficientes:
- Coeficiente de :
.
- Coeficiente de :
.
Portanto
- Coeficiente de
- Coeficiente de
Portanto
Resposta
Uma solução particular é