Encontre uma solução particular de y^prime prime+4 y=3 cos 2 t.

Passo 1

O enunciado pede uma solução particular da equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + 4y = 3cos 2t
O conteúdo principal aqui é o método dos coeficientes a determinar, observando que a frequência do termo forçante coincide com a da solução homogênea (ressonância).

Passo 2

Primeiro achamos a solução geral da homogênea
yh'' + 4yh = 0
A equação característica é lambda^2 + 4=0, com raízes lambda=pm 2i.
Logo
yh = C1cos 2t + C2sin 2t
Como o termo forçante 3cos2t tem a mesma frequência, há ressonância, e devemos multiplicar o palpite padrão por t.

Passo 3

Propomos uma solução particular da forma
yp = tl(Acos2t + Bsin2tr),
com A e B constantes a determinar.

Passo 4

Calculamos yp''+4yp. Sem detalhar passo a passo das derivadas, o resultado é
yp'' + 4yp = -4Asin2t + 4Bcos2t

Passo 5

Para yp satisfazer a equação yp''+4yp=3cos 2t, igualamos coeficientes:
- Coeficiente de sin 2t: -4A = 0 implies A=0.
- Coeficiente de cos 2t: 4B = 3 implies B=tfrac34.
Portanto
yp = tl(0cdot cos 2t + tfrac34 sin 2tr) = tfrac34 , t sin 2t

Resposta

Uma solução particular é
yp(t) = tfrac34,tsin2t

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