Questão 2) (2,0) Calcular a integral dupla
integral duplaR raiz9-x^2-y^2 d A,
onde R é a região dada pelo disco x^2+y^2 <= 4

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
integral duplaR raiz9 - x^2 - y^2;dA,
onde R é o disco x^2+y^2<= 4.
Aqui o conteúdo é mudança para coordenadas polares, pois a região é circular e o integrando depende de x^2+y^2. Vamos usar
x = rcostheta, y = rsintheta, dA = r,dr,dtheta

Passo 2

Em coordenadas polares a região R vira
0 <= r <= 2, 0 <= theta <= 2pi,
e o integrando raiz9 - x^2-y^2 vira raiz9 - r^2. Logo a integral fica
integral duplaR raiz9 - x^2-y^2;dA = integral0^2pi!!integral0^2 r,raiz9 - r^2;dr,dtheta

Passo 3

Calculemos primeiro
integral0^2 r,raiz9 - r^2;dr
Fazemos a substituição u = 9 - r^2, então du = -2r,dr, isto é, r,dr = -tfrac12,du. Quando r=0 temos u=9 e quando r=2 temos u=5. Assim
integral0^2 r,raiz9 - r^2;dr = integralu=9^5 raizu,l(-tfrac12,dur) = tfrac12integral5^9 u^1/2;du
Agora
tfrac12integral5^9 u^1/2;du = tfrac12l[tfrac23u^3/2r]5^9 = tfrac13l(9^3/2-5^3/2r) = tfrac13l(27-5raiz5r)

Passo 4

Voltemos à integral dupla. Substituindo o resultado do passo anterior temos
integral0^2pi!!integral0^2 r,raiz9 - r^2;dr,dtheta = integral0^2pi l[tfrac13(27-5raiz5)r] dtheta = tfrac13(27-5raiz5);integral0^2pidtheta = tfrac13(27-5raiz5);(2pi)

Resposta

integral duplaR raiz9 - x^2-y^2;dA = 2pi3l(27 - 5raiz5r)

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