Questão 4) (2,0) Calcule a integral tripla
integral triplaE 3 z raizx^2+y^2 d V,
onde E é delimitado pelo tronco do cilindro x^2+y^2=25 e z entre -2 e 3 .

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
integral triplaE3,zraizx^2+y^2,dV
onde E é o cilindro reto de raio 5 (isto é, x^2+y^2<=25) e z varia de -2 a 3.
O conteúdo aqui é o uso de coordenadas cilíndricas para simplificar a simetria circular em x,y.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas fazemos
x = rcostheta, y = rsintheta, z=z,
com raizx^2+y^2=r e o elemento de volume
dV = r,dr,dtheta,dz
Logo o integrando 3,zraizx^2+y^2 vira 3,z,r e, incluindo dV, obtemos 3,z,rcdot r = 3,z,r^2.

Passo 3

Os limites ficam
0 <= r <= 5, 0 <= theta <= 2pi, -2 <= z <= 3,
de modo que a integral se escreve
integraltheta=0^2piintegralr=0^5integralz=-2^33,z,r^2,dz,dr,dtheta

Passo 4

Integramos primeiro em z:
integral-2^33,z,r^2,dz =3,r^2integral-2^3z,dz =3,r^2[z^22]-2^3 =3,r^22l(9-4r) =152,r^2

Passo 5

Agora integramos em r:
integral0^5152,r^2,dr =152[r^33]0^5 =152cdot1253 =18756

Passo 6

Por fim, integramos em theta:
integral0^2pi18756,dtheta =18756cdot2pi =625pi

Resposta

625pi

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