Encontre uma solução particular de y^(3)+y^prime prime=3 e^x+4 x^2.

Passo 1

O enunciado pede uma solução particular para a equação diferencial
y^(3) + y'' = 3e^x + 4x^2
O conteúdo é o método dos coeficientes indeterminados: vamos supor formas de yp que gerem os termos e^x e x^2 e determinar seus coeficientes.

Passo 2

Separamos yp em duas partes: uma para o termo 3e^x e outra para o termo 4x^2:
yp = yp1 + yp2
Como r=1 não é raiz da parte homogênea, para 3e^x tentamos
yp1 = A e^x

Passo 3

Calculamos as derivadas de yp1:
yp1'' = A e^x, yp1''' = A e^x,
então
yp1''' + yp1'' = 2A e^x
deve ser igual a 3e^x. Logo
2A = 3 Longrightarrow A = tfrac32

Passo 4

Para o termo 4x^2, como r=0 é raiz de multiplicidade 2 da homogênea, multiplicamos por x^2 um polinômio de grau 2:
yp2 = x^2(a x^2 + b x + c) = a x^4 + b x^3 + c x^2
Suas derivadas são
yp2'' = 12a x^2 + 6b x + 2c, yp2''' = 24a x + 6b
Então
yp2'' + yp2''' = 12a x^2 + (24a + 6b)x + (6b + 2c)
deve igualar 4x^2. Comparando coeficientes:
12a = 4, 24a + 6b = 0, 6b + 2c = 0
resulta em
a = tfrac13, b = -tfrac43, c = 4

Passo 5

Juntando as duas partes, obtemos uma solução particular completa:
yp = tfrac32e^x + tfrac13x^4 - tfrac43x^3 + 4x^2

Resposta

yp(x) = 32e^x + 13x^4 - 43x^3 + 4x^2

Exercícios relacionados