Encontre a solução problema de condução do calor
l ut=4 ux x 0<x<2, t>0 u(x, 0)=2 sen(2 pi x)-sen(pi x)+4 sen(4 pi x), 0 <= x <= 2 u(0, t)=0, t>0 u(2, t)=0, t>0

Passo 1

O problema é a equação do calor
ut=4,uxx, 0<x<2,;t>0
com condições de contorno homogêneas
u(0,t)=0, u(2,t)=0
e condição inicial
u(x,0)=2sin(2pi x)-sin(pi x)+4sin(4pi x)
Vamos usar separação de variáveis e superposição linear de modos normais.

Passo 2

Para 0<x<2 e u(0,t)=u(2,t)=0 os autovalores e autofunções de X''+lambda X=0 são
Xn(x)=sin!l(tfracnpi2xr), lambdan=l(tfracnpi2r)^2, n=1,2,3,dots
e a parte temporal associada é
Tn(t)=e^-4lambdan t =e^-4l(npi2r)^2t =e^-n^2pi^2 t

Passo 3

Comparemos a condição inicial com a base sin(tfracnpi2x):
sin(pi x)=sin(tfrac2pi2x) corresponde a n=2.
sin(2pi x)=sin(tfrac4pi2x) corresponde a n=4.
sin(4pi x)=sin(tfrac8pi2x) corresponde a n=8.
Logo a expansão é
u(x,0) =2,X4(x) -1cdot X2(x) +4,X8(x)

Passo 4

Por superposição, a solução geral é
u(x,t) =sumn=1^infty An,sin!l(tfracnpi2xr),e^-n^2pi^2 t
Como apenas n=2,4,8 aparecem, temos
A2=-1, A4=2, A8=4,
portanto
u(x,t) =-sin(pi x),e^-4pi^2 t +2sin(2pi x),e^-16pi^2 t +4sin(4pi x),e^-64pi^2 t

Resposta

u(x,t) =-sin(pi x),e^-4pi^2 t +2sin(2pi x),e^-16pi^2 t +4sin(4pi x),e^-64pi^2 t

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