Questào 1 Considere a função f(x)=e^xx.
a) (1 pt) Determine o domínio de f e as assíntotas horizontais e verticais de f, se existirem.
b) ( 1 pt ) Determine os intervalos de crescimento e decrescimento de f e os máximos e mínimos locais de f.
c) (1 pt) Determine a concavidade de f e os pontos de inflexão, se existirem. Esboce o gráfico de f.

Passo 1

O enunciado pede para a função
f(x)=e^xx
que façamos as seguintes tarefas:
  1. Determinar o domínio e as assíntotas (verticais e horizontais).
  2. Estudar o sinal de f'(x) para achar intervalos de crescimento/decrescimento e extremos locais.
  3. Calcular f''(x) para examinar concavidade e pontos de inflexão.
  4. Esboçar qualitativamente o gráfico de f.

Passo 2

Para achar o domínio, basta exigir que o denominador não seja zero:
xneq 0Longrightarrow Dom(f)=(-infty,0)cup(0,infty)
Verticalmente, como xto0^+ temos
f(x)=e^xxapprox1xto +infty,
e como xto0^-
f(x)approx1xto -infty
Logo existe assíntota vertical
x=0
Para assíntotas horizontais, fazemos os limites em pminfty:
limxto+inftye^xx=+infty(sem assíntota), í
limxto-inftye^xx=0^+-infty=0^-
Assim há assíntota horizontal
y=0
quando xto -infty.

Passo 3

Calculamos a derivada usando quociente ou produto:
f'(x) =e^xcdot x - e^xcdot1x^2 =e^x(x-1)x^2
Como e^x>0 e x^2>0 para xneq0, o sinal de f'(x) é o mesmo de (x-1).
  • Se x<1, então x-1<0, logo f'(x)<0.
  • Se x>1, então x-1>0, logo f'(x)>0.
    Em x=1 temos f'(1)=0 e troca de sinal de - para +, caracterizando um mínimo local em
x=1, f(1)=e
Portanto
decresce em (-infty,0)cup(0,1), cresce em (1,infty),
e há mínimo local em l(1,er).

Passo 4

Para a segunda derivada, escrevemos
f'(x)=e^x(x-1)x^-2
e derivamos de novo por produto, chegando a
f''(x)=e^xx^3l(x^2-2x+2r)
O polinômio x^2-2x+2 tem discriminante De<a=(-2)^2-4cdot1cdot2=-4<0, logo é sempre positivo. Como e^x>0, o sinal de f''(x) vem de x^3:
  • Para x>0, x^3>0 implica f''(x)>0 (concavidade para cima).
  • Para x<0, x^3<0 implica f''(x)<0 (concavidade para baixo).
    Não há zeros de f'' no domínio, só troca de sinal em x=0 (ponto fora do domínio), portanto não há pontos de inflexão em Dom(f).

Passo 5

Esboço qualitativo de f:
  • Em (-infty,0): f(x) parte de 0^- quando xto -infty, decresce, com concavidade para baixo, e cai a -infty ao se aproximar de 0^-.
  • Em (0,1): f(x) sai de +infty em 0^+, decresce (concavidade para cima), chega a l(1,er).
  • Em (1,infty): f(x) cresce de e para +infty, sempre concava para cima.
    As assíntotas são x=0 (vertical) e y=0 quando xto -infty (horizontal).

Resposta

Domínio: (-infty,0)cup(0,infty)
Assíntotas: vertical x=0, horizontal y=0 para xto -infty
Crescimento/decrescimento: decresce em (-infty,0)cup(0,1), cresce em (1,infty)
Extremo local: mínimo em l(1,er)
Concavidade: côncava para baixo em (-infty,0), côncava para cima em (0,infty)
Pontos de inflexão: nenhum no domínio
Gráfico: conforme esboçado no passo anterior.

Exercícios relacionados