Questào 1 Considere a função
.
a) (1 pt) Determine o domínio de
e as assíntotas horizontais e verticais de
, se existirem.
b) ( 1 pt ) Determine os intervalos de crescimento e decrescimento de
e os máximos e mínimos locais de
.
c) (1 pt) Determine a concavidade de
e os pontos de inflexão, se existirem. Esboce o gráfico de
.
a) (1 pt) Determine o domínio de
b) ( 1 pt ) Determine os intervalos de crescimento e decrescimento de
c) (1 pt) Determine a concavidade de
Passo 1
O enunciado pede para a função
que façamos as seguintes tarefas:
- Determinar o domínio e as assíntotas (verticais e horizontais).
- Estudar o sinal de
para achar intervalos de crescimento/decrescimento e extremos locais. - Calcular
para examinar concavidade e pontos de inflexão. - Esboçar qualitativamente o gráfico de
.
Passo 2
Para achar o domínio, basta exigir que o denominador não seja zero:
Verticalmente, como
temos
e como
Logo existe assíntota vertical
Para assíntotas horizontais, fazemos os limites em
:
Assim há assíntota horizontal
quando
.
Passo 3
Calculamos a derivada usando quociente ou produto:
Como
e
para
, o sinal de
é o mesmo de
.
- Se
, então , logo . - Se
, então , logo .
Emtemos e troca de sinal de para , caracterizando um mínimo local em
Portanto
e há mínimo local em
.
Passo 4
Para a segunda derivada, escrevemos
e derivamos de novo por produto, chegando a
O polinômio
tem discriminante
, logo é sempre positivo. Como
, o sinal de
vem de
:
- Para
, implica (concavidade para cima). - Para
, implica (concavidade para baixo).
Não há zeros deno domínio, só troca de sinal em (ponto fora do domínio), portanto não há pontos de inflexão em .
Passo 5
Esboço qualitativo de
:
- Em
: parte de quando , decresce, com concavidade para baixo, e cai a ao se aproximar de . - Em
: sai de em , decresce (concavidade para cima), chega a . - Em
: cresce de para , sempre concava para cima.
As assíntotas são(vertical) e quando (horizontal).
Resposta
Domínio:
Assíntotas: vertical , horizontal
para
Crescimento/decrescimento: decresce em , cresce em
Extremo local: mínimo em
Concavidade: côncava para baixo em , côncava para cima em
Pontos de inflexão: nenhum no domínio
Gráfico: conforme esboçado no passo anterior.
Assíntotas: vertical
Crescimento/decrescimento: decresce em
Extremo local: mínimo em
Concavidade: côncava para baixo em
Pontos de inflexão: nenhum no domínio
Gráfico: conforme esboçado no passo anterior.