- Questão 4 (2 pontos):
Um fazendeiro deseja utilizar arame farpado para cercar um terreno retangular de
. Vai também dividir o terreno ao meio com o mesmo tipo de cerca, paralelamente a um dos lados do terreno já cercado. Determine as dimensões do terreno de modo que a quantidade de arame farpado utilizado seja mínima.
Passo 1
O enunciado pede a cerca de um terreno retangular de área fixa de
,km
e ainda uma divisão interna paralela a um dos lados. O que queremos é minimizar o comprimento total de cerca. O conteúdo aqui é otimização com restrição: temos a condição de área e vamos montar uma função de custo (comprimento de cerca) para depois minimizar.
Passo 2
Vamos chamar de
e
as dimensões do retângulo, com
A cerca envolve todo o perímetro, ou seja
, e mais uma divisão interna paralela a um dos lados. Há duas possibilidades para essa divisão: paralela ao lado de comprimento
(divisor vertical) ou paralela ao lado de comprimento
(divisor horizontal).
Passo 3
Caso 1: divisor vertical (paralelo ao lado de comprimento
). O comprimento total de cerca é
Usando
,
Derivando e igualando a zero:
logo
.
Passo 4
Caso 2: divisor horizontal (paralelo ao lado de comprimento
). O comprimento total de cerca é
Substituindo
,
Derivando e igualando a zero:
logo
.
Passo 5
Em ambos os casos o valor mínimo do comprimento de cerca é
e as dimensões ótimas são sempre
,km e
,km (apenas muda a orientação do divisor, mas o retângulo é o mesmo).
Resposta
As dimensões que minimizam o uso de arame são
,km e
,km.