• Questão 4 (2 pontos):
Um fazendeiro deseja utilizar arame farpado para cercar um terreno retangular de 54 km^2. Vai também dividir o terreno ao meio com o mesmo tipo de cerca, paralelamente a um dos lados do terreno já cercado. Determine as dimensões do terreno de modo que a quantidade de arame farpado utilizado seja mínima.

Passo 1

O enunciado pede a cerca de um terreno retangular de área fixa de 54,km ^2 e ainda uma divisão interna paralela a um dos lados. O que queremos é minimizar o comprimento total de cerca. O conteúdo aqui é otimização com restrição: temos a condição de área e vamos montar uma função de custo (comprimento de cerca) para depois minimizar.

Passo 2

Vamos chamar de x e y as dimensões do retângulo, com
xy = 54
A cerca envolve todo o perímetro, ou seja 2x+2y, e mais uma divisão interna paralela a um dos lados. Há duas possibilidades para essa divisão: paralela ao lado de comprimento y (divisor vertical) ou paralela ao lado de comprimento x (divisor horizontal).

Passo 3

Caso 1: divisor vertical (paralelo ao lado de comprimento y). O comprimento total de cerca é
T1 = 2x + 2y + y = 2x + 3y
Usando y=54/x,
T1(x) = 2x + 354x = 2x + 162x
Derivando e igualando a zero:
T1'(x)=2 - 162x^2=0 Longrightarrow x^2=81 Longrightarrow x=9,
logo y=54/9=6.

Passo 4

Caso 2: divisor horizontal (paralelo ao lado de comprimento x). O comprimento total de cerca é
T2 = 2x + 2y + x = 3x + 2y
Substituindo y=54/x,
T2(x) = 3x + 254x = 3x + 108x
Derivando e igualando a zero:
T2'(x)=3 - 108x^2=0 Longrightarrow x^2=36 Longrightarrow x=6,
logo y=54/6=9.

Passo 5

Em ambos os casos o valor mínimo do comprimento de cerca é
Tmin=36 km,
e as dimensões ótimas são sempre 9,km e 6,km (apenas muda a orientação do divisor, mas o retângulo é o mesmo).

Resposta

As dimensões que minimizam o uso de arame são 9,km e 6,km.

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