5 Encontre a solução do problema do poço de potencial simétrico, igual ao analisado em aula, porém com V0 finito. Nesse caso haverá uma parte do espectro de energias discreto, para E e uma parte contínua, para E>V0. Você deverá encontrar as equações transcendentais na forma:
k tan (k a)=alpha ( Modo Par ) e k cot (k a)=-alpha ( Modo Impar )
onde k=raiz2 m E / hbar^2 e psi(x) Deve haver continuidade de d psi(x) / d x e x= pm a! nas interfaces E ! Dica: Utilizar soluções com paridade definida (par ou ímpar separadamente) e no caso & psi(x)=A e^-alpha|x|,|x|>a & psi(x)=B cos (k x)+C sin (k x),-a <= x <= a :
E>V0
Para o caso alpha você deverá redefinir psi(x) para psi(x)=A^prime cos (alpha x)+B^prime sin (alpha x) e a solução x<-a para x>a nas regiões k e E. Observe que o valor de E gg V0 é contínuo e consequentemente o espectro de energia alpha k, para , pois nesse caso .

Passo 1

No enunciado, temos um poço de potencial simétrico de profundidade finita V0 e largura 2a. Queremos resolver a equação de Schrödinger independente do tempo e obter o espectro de energia: discreto para E e contínuo para E>V0. Vamos usar paridade (modos pares e ímpares) e impor continuidade de psi(x) e de sua derivada em x=pm a.

Passo 2

Para os estados ligados ( E) definimos
alpha=raiz2m(V0-E)hbar^2, k=raiz2mEhbar^2
A solução geral é
psi(x)=A,e^-alpha|x|, |x|>a,
psi(x)=Bcos(kx)+Csin(kx), |x|<= a

Passo 3

Nos modos pares tomamos psi(x)=Bcos(kx) em |x|<= a e psi(x)=A,e^-alpha x para x>a. Em x=a impomos
continuidade de psi:
Bcos(ka)=A,e^-alpha a,
e continuidade de psi':
- B ksin(ka)=-A,alpha,e^-alpha a
Dividindo as duas equações eliminamos A e B e obtemos
ktan(ka)=alpha,
que é a condição transcendental para o modo par.

Passo 4

Nos modos ímpares usamos psi(x)=Csin(kx) em |x|<= a e psi(x)=A,sgn(x),e^-alpha|x| fora do poço. Em x=a a continuidade dá
Csin(ka)=A,e^-alpha a,
e para a derivada
C kcos(ka)=-A,alpha,e^-alpha a
Dividindo, chega-se a
kcot(ka)=-alpha,
que é a condição transcendental para o modo ímpar.

Passo 5

Para o espectro contínuo ( E>V0) redefinimos
alpha=raiz2m(E-V0)hbar^2
Fora do poço as soluções passam a ser oscilatórias:
psi(x)=A'cos(alpha x)+B'sin(alpha x), |x|>a
Aplicando continuidade em x=pm a vemos que não há mais quantização de k: ele pode assumir valores contínuos, e assim o espectro de energia é contínuo.

Resposta

Para os estados ligados ( E) as condições transcendentes são
ktan(ka)=alpha(modo par),
kcot(ka)=-alpha(modo ímpar), í
com
alpha=raiz2m(V0-E)hbar^2, k=raiz2mEhbar^2
Para o caso E>V0 temos
alpha=raiz2m(E-V0)hbar^2epsi(x)=A'cos(alpha x)+B'sin(alpha x) (|x|>a),
mostrando que k é contínuo e o espectro de energia também.

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