5 Encontre a solução do problema do poço de potencial simétrico, igual ao analisado em aula, porém com
finito. Nesse caso haverá uma parte do espectro de energias discreto, para
e uma parte contínua, para
. Você deverá encontrar as equações transcendentais na forma:
onde
e
Deve haver continuidade de
e
nas interfaces
! Dica: Utilizar soluções com paridade definida (par ou ímpar separadamente) e no caso
:
Para o caso
você deverá redefinir
para
e a solução
para
nas regiões
e
. Observe que o valor de
é contínuo e consequentemente o espectro de energia
, para
, pois nesse caso
.
Passo 1
No enunciado, temos um poço de potencial simétrico de profundidade finita
e largura
. Queremos resolver a equação de Schrödinger independente do tempo e obter o espectro de energia: discreto para
e contínuo para
. Vamos usar paridade (modos pares e ímpares) e impor continuidade de
e de sua derivada em
.
Passo 2
Para os estados ligados (
) definimos
A solução geral é
Passo 3
Nos modos pares tomamos
em
e
para
. Em
impomos
continuidade de :
continuidade de
e continuidade de
:
Dividindo as duas equações eliminamos
e
e obtemos
que é a condição transcendental para o modo par.
Passo 4
Nos modos ímpares usamos
em
e
fora do poço. Em
a continuidade dá
e para a derivada
Dividindo, chega-se a
que é a condição transcendental para o modo ímpar.
Passo 5
Para o espectro contínuo (
) redefinimos
Fora do poço as soluções passam a ser oscilatórias:
Aplicando continuidade em
vemos que não há mais quantização de
: ele pode assumir valores contínuos, e assim o espectro de energia é contínuo.
Resposta
Para os estados ligados (
) as condições transcendentes são
com
Para o caso
temos
mostrando que
é contínuo e o espectro de energia também.