Encontre a solução do problema de valor inicial abaixo e descreva o que ocorre com a solução quando x \rightarrow \infty.
\left\{\begin{array}{l}y^{\prime \prime}+y^{\prime}-2 y=0 \\\ y(0)=1, y^{\prime}(0)=1\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá um problema de valor inicial com uma equação diferencial de segunda ordem e condições iniciais. Especificamente:
  • Equação diferencial: y''+y'-2y=0.
  • Condições iniciais: y(0)=1 e y'(0)=1.
O que se pede:
  1. Determinar a solução y(x) que satisfaz a equação e as condições iniciais.
  2. Descrever o comportamento dessa solução quando x\rightarrow\infty.

Passo 2

Ideia do método (explicação didática): para equações lineares homogêneas com coeficientes constantes é comum procurar soluções da forma y=e^{rx}, porque derivar essa função apenas multiplica por r e transforma a equação diferencial numa equação algébrica para r. Se y=e^{rx} então:
y'=r e^{rx},\qquad y''=r^{2} e^{rx}.
Substituindo na equação diferencial e dividindo por e^{rx} (que nunca é zero) obtém-se uma equação polinomial em r, chamada equação característica.

Passo 3

Aplicando a substituição temos:
r^{2}e^{rx}+r e^{rx}-2 e^{rx}=0 \quad\Rightarrow\quad r^{2}+r-2=0.
Essa é a equação característica. Vou resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara: para ar^{2}+br+c=0 vale r=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Aqui a=1, b=1, c=-2. O discriminante é
\Delta=b^{2}-4ac=1^{2}-4\cdot1\cdot(-2)=1+8=9.
Logo as raízes são
r=\dfrac{-1\pm\sqrt{9}}{2}=\dfrac{-1\pm3}{2}.
Portanto as raízes são r_{1}=1 e r_{2}=-2.

Passo 4

Interpretação: como as raízes r_{1} e r_{2} são reais e distintas, a solução geral da equação homogênea é a combinação linear das exponenciais correspondentes:
y(x)=C_{1}e^{r_{1}x}+C_{2}e^{r_{2}x}=C_{1}e^{x}+C_{2}e^{-2x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes a determinar pelas condições iniciais. Explicando de forma prática: as duas funções e^{x} e e^{-2x} são soluções independentes, e pela linearidade e princípio da superposição qualquer combinação linear delas também é solução.

Passo 5

Aplicar a condição y(0)=1. Avaliando y em x=0:
y(0)=C_{1}e^{0}+C_{2}e^{0}=C_{1}+C_{2}=1.
Portanto obtemos a primeira equação para as constantes:
C_{1}+C_{2}=1.

Passo 6

Calcular y'(x) para usar a segunda condição. Derivando a solução geral:
y'(x)=C_{1}e^{x}-2C_{2}e^{-2x}.
Agora aplicar y'(0)=1:
y'(0)=C_{1}-2C_{2}=1.
Essa é a segunda equação:
C_{1}-2C_{2}=1.

Passo 7

Resolver o sistema linear para C_{1}\) e \(C_{2}\): \[\begin{cases} C_{1}+C_{2}=1,\\[4pt] C_{1}-2C_{2}=1. \end{cases}
Subtraindo a primeira equação da segunda:
(C_{1}-2C_{2})-(C_{1}+C_{2})=1-1 \quad\Rightarrow\quad -3C_{2}=0,
logo C_{2}=0\]. Substituindo em \(C_{1}+C_{2}=1 vem C_{1}=1.]

Passo 8

Portanto a solução particular que satisfaz as condições iniciais é
y(x)=1\cdot e^{x}+0\cdot e^{-2x}=e^{x}.

Passo 9

Verificação rápida (checagem): calcular y'=e^{x} e y''=e^{x}. Substituindo na equação:
y''+y'-2y=e^{x}+e^{x}-2e^{x}=0,
logo satisfaz a equação, e y(0)=e^{0}=1, y'(0)=e^{0}=1, satisfazendo as condições.

Passo 10

Comportamento quando x\rightarrow\infty: como y(x)=e^{x}, a solução cresce exponencialmente sem limite superior. Em notação:
\lim_{x\to\infty}y(x)=\lim_{x\to\infty}e^{x}=+\infty.
Comentário motivacional rápido: essa solução simples mostra como uma componente exponencial com raiz positiva domina o comportamento a longo prazo — por isso em provas é bom olhar as raízes da equação característica para prever crescimento ou decaimento.

Resposta

y(x)=e^{x}
\displaystyle \lim_{x\to\infty}y(x)=+\infty

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