Encontre a solução do problema de valor inicial abaixo e descreva o que ocorre com a solução quando
.
Passo 1
O enunciado dá um problema de valor inicial com uma equação diferencial de segunda ordem e condições iniciais. Especificamente:
- Equação diferencial:
. - Condições iniciais:
e .
O que se pede:
- Determinar a solução
que satisfaz a equação e as condições iniciais. - Descrever o comportamento dessa solução quando
.
Passo 2
Ideia do método (explicação didática): para equações lineares homogêneas com coeficientes constantes é comum procurar soluções da forma
, porque derivar essa função apenas multiplica por
e transforma a equação diferencial numa equação algébrica para
. Se
então:
Substituindo na equação diferencial e dividindo por
(que nunca é zero) obtém-se uma equação polinomial em
, chamada equação característica.
Passo 3
Aplicando a substituição temos:
Essa é a equação característica. Vou resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara: para
vale
. Aqui
,
,
. O discriminante é
Logo as raízes são
Portanto as raízes são
e
.
Passo 4
Interpretação: como as raízes
e
são reais e distintas, a solução geral da equação homogênea é a combinação linear das exponenciais correspondentes:
onde
e
são constantes a determinar pelas condições iniciais. Explicando de forma prática: as duas funções
e
são soluções independentes, e pela linearidade e princípio da superposição qualquer combinação linear delas também é solução.
Passo 5
Aplicar a condição
. Avaliando
em
:
Portanto obtemos a primeira equação para as constantes:
Passo 6
Calcular
para usar a segunda condição. Derivando a solução geral:
Agora aplicar
:
Essa é a segunda equação:
Passo 7
Resolver o sistema linear para
Subtraindo a primeira equação da segunda:
logo
vem
.]
Passo 8
Portanto a solução particular que satisfaz as condições iniciais é
Passo 9
Verificação rápida (checagem): calcular
e
. Substituindo na equação:
logo satisfaz a equação, e
,
, satisfazendo as condições.
Passo 10
Comportamento quando
: como
, a solução cresce exponencialmente sem limite superior. Em notação:
Comentário motivacional rápido: essa solução simples mostra como uma componente exponencial com raiz positiva domina o comportamento a longo prazo — por isso em provas é bom olhar as raízes da equação característica para prever crescimento ou decaimento.