Questäo 5 (2.0 pts):
Determine a(s) assintota(s) vertical(is) e horizontal(is), se houver(em), do gráfico da função definida por
. Exiba seus cálculos.
Determine a(s) assintota(s) vertical(is) e horizontal(is), se houver(em), do gráfico da função definida por
Passo 1
O enunciado pede: determinar as assíntotas verticais e horizontais (se houverem) da função
e exibir os cálculos.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A função é
. - Precisa-se identificar todas as assíntotas verticais e horizontais e justificar com cálculo.
Passo 2
Determinar o domínio da função (informação útil para achar assíntotas verticais).
A função tem denominador . Observação básica sobre essa expressão:
A função tem denominador
logo
Portanto o denominador nunca se anula e a função está definida para todo
. Em outras palavras, o domínio é
.
Passo 3
Explicação do conceito de assíntota vertical (para ficar claro):
Uma reta vertical é assíntota vertical de
se a função fica sem definição em
e pelo menos um dos limites laterais diverge para
, isto é, se
Uma reta vertical
Como já vimos, não existe
tal que o denominador seja zero; além disso a função é finita em todo ponto (não diverge). Logo não há pontos onde a função tenda a
. Conclusão:
- Não existem assíntotas verticais.
Passo 4
Simplificação da função para usar nos argumentos seguintes. Para todo
(já que o denominador é não nulo) vale:
Isto mostra que
é a função constante igual a
em toda a reta real.
Passo 5
Explicação do conceito de assíntota horizontal:
Uma reta horizontal é assíntota horizontal quando a função tende a
quando
ou quando
; formalmente:
Uma reta horizontal
Como
para todo
, os limites nas infinidades são triviais:
Portanto a reta
é uma assíntota horizontal (em ambos os sentidos,
e
). Observação adicional: aqui a função coincide exatamente com a reta
, isto é, o gráfico é a própria linha
; isso não impede que a chamemos de assíntota segundo a definição por limites no infinito.
Passo 6
Resumo final dos resultados (já justificados nos passos anteriores).
Resposta
Não há assíntotas verticais.
Assíntota horizontal: .
Assíntota horizontal: