Questäo 5 (2.0 pts):
Determine a(s) assintota(s) vertical(is) e horizontal(is), se houver(em), do gráfico da função definida por f(x)=\frac{x^{2}+1}{x^{2}+1}. Exiba seus cálculos.

Passo 1

O enunciado pede: determinar as assíntotas verticais e horizontais (se houverem) da função f(x)=\frac{x^{2}+1}{x^{2}+1} e exibir os cálculos.
Informações dadas:
  • A função é f(x)=\frac{x^{2}+1}{x^{2}+1}.
  • Precisa-se identificar todas as assíntotas verticais e horizontais e justificar com cálculo.

Passo 2

Determinar o domínio da função (informação útil para achar assíntotas verticais).
A função tem denominador x^{2}+1. Observação básica sobre essa expressão:
x^{2}\ge 0\quad\text{para todo }x\in\mathbb{R},
logo
x^{2}+1\ge 1>0\quad\text{para todo }x\in\mathbb{R}.
Portanto o denominador nunca se anula e a função está definida para todo x\in\mathbb{R}. Em outras palavras, o domínio é \mathbb{R}.

Passo 3

Explicação do conceito de assíntota vertical (para ficar claro):
Uma reta vertical x=a é assíntota vertical de f se a função fica sem definição em x=a e pelo menos um dos limites laterais diverge para \pm\infty, isto é, se
\lim_{x\to a^-} f(x)=\pm\infty\quad\text{ou}\quad \lim_{x\to a^+} f(x)=\pm\infty.
Como já vimos, não existe a\in\mathbb{R} tal que o denominador seja zero; além disso a função é finita em todo ponto (não diverge). Logo não há pontos onde a função tenda a \pm\infty. Conclusão:
  • Não existem assíntotas verticais.

Passo 4

Simplificação da função para usar nos argumentos seguintes. Para todo x\in\mathbb{R} (já que o denominador é não nulo) vale:
f(x)=\frac{x^{2}+1}{x^{2}+1}=1.
Isto mostra que f é a função constante igual a 1 em toda a reta real.

Passo 5

Explicação do conceito de assíntota horizontal:
Uma reta horizontal y=L é assíntota horizontal quando a função tende a L quando x\to+\infty ou quando x\to-\infty; formalmente:
\lim_{x\to+\infty} f(x)=L\quad\text{ou}\quad \lim_{x\to-\infty} f(x)=L.
Como f(x)=1 para todo x, os limites nas infinidades são triviais:
\lim_{x\to+\infty} f(x)=\lim_{x\to+\infty} 1 = 1, \qquad \lim_{x\to-\infty} f(x)=\lim_{x\to-\infty} 1 = 1.
Portanto a reta y=1 é uma assíntota horizontal (em ambos os sentidos, +\infty e -\infty). Observação adicional: aqui a função coincide exatamente com a reta y=1, isto é, o gráfico é a própria linha y=1; isso não impede que a chamemos de assíntota segundo a definição por limites no infinito.

Passo 6

Resumo final dos resultados (já justificados nos passos anteriores).

Resposta

Não há assíntotas verticais.
Assíntota horizontal: y=1.

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