Encontre a solução do problema de valor inicial abaixo e descreva o que ocorre com a solução quando x \rightarrow \infty.
\left\{\begin{array}{l}y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+3 y=0 \\\ y(0)=2, y^{\prime}(0)=-1\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
\begin{cases} y''+4y'+3y=0,\\[4pt] y(0)=2,\quad y'(0)=-1. \end{cases}
O que se pede:
  • Encontrar a solução y(x) que satisfaz a equação diferencial e as condições iniciais.
  • Descrever o que ocorre com y(x) quando x\to\infty.]

Passo 2

Estratégia (método padrão para EDO linear homogênea com coeficientes constantes).
Procuro soluções da forma y(x)=e^{r x}. A razão é que ao derivar e^{r x} aparece novamente um múltiplo de e^{r x}, o que transforma a EDO numa equação algébrica para r. Substituindo y=e^{r x} na equação obtém-se a chamada equação característica:
r^{2}+4r+3=0.
Aqui r é a incógnita da equação característica; cada raiz r gera uma solução exponencial e^{r x}.

Passo 3

Resolver a equação característica.
A equação r^{2}+4r+3=0 fatoriza-se facilmente:
r^{2}+4r+3=(r+1)(r+3)=0,
portanto as raízes são
r_{1}=-1,\qquad r_{2}=-3.

Passo 4

Escrever a solução geral.
Como as raízes são reais e distintas, a solução geral da EDO homogênea é a combinação linear das exponenciais correspondentes:
y(x)=C_{1}e^{-x}+C_{2}e^{-3x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes a determinar pelas condições iniciais.

Passo 5

Calcular a derivada y'(x) para aplicar as condições iniciais.
Usando a regra \dfrac{d}{dx}e^{a x}=a e^{a x}, tem-se
y'(x)=-C_{1}e^{-x}-3C_{2}e^{-3x}.

Passo 6

Aplicar as condições iniciais y(0)=2\) e \(y'(0)=-1\). Avalio as expressões em \(x=0\): \[y(0)=C_{1}+C_{2}=2,
y'(0)=-C_{1}-3C_{2}=-1.
Isso dá um sistema linear em C_{1},C_{2}:
\begin{cases} C_{1}+C_{2}=2,\\[4pt] -C_{1}-3C_{2}=-1. \end{cases}
Resolvo: da primeira equação C_{1}=2-C_{2}\]. Substituindo na segunda: \[-(2-C_{2})-3C_{2}=-1 \;\Rightarrow\; -2+C_{2}-3C_{2}=-1 \;\Rightarrow\; -2-2C_{2}=-1.\] Isolando \(C_{2}:
-2C_{2}=1 \;\Rightarrow\; C_{2}=-\tfrac{1}{2}.
Então
C_{1}=2- C_{2}=2-(-\tfrac{1}{2})=\tfrac{5}{2}.]

Passo 7

Escrever a solução particular final e comentar.
Substituindo as constantes obtidas na solução geral:
y(x)=\tfrac{5}{2}e^{-x}-\tfrac{1}{2}e^{-3x}.
Observações sobre o comportamento quando x\to\infty: ambas as exponenciais e^{-x} e e^{-3x} tendem a zero quando x\to\infty. Como \tfrac{5}{2}e^{-x} domina assintoticamente (decai mais devagar que e^{-3x}), a solução tende a zero e o termo dominante para x grande é \tfrac{5}{2}e^{-x}. Portanto y(x)\to 0 quando x\to\infty (decrescente exponencialmente, aproximando-se de 0 por valores positivos para x grande).

Resposta

y(x)=\dfrac{5}{2}e^{-x}-\dfrac{1}{2}e^{-3x}
\displaystyle \lim_{x\to\infty}y(x)=0

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