Encontre a solução do problema de valor inicial abaixo e descreva o que ocorre com a solução quando
.
Passo 1
O enunciado dá o problema de valor inicial
O que se pede:
- Encontrar a solução
que satisfaz a equação diferencial e as condições iniciais. - Descrever o que ocorre com
quando .]
Passo 2
Estratégia (método padrão para EDO linear homogênea com coeficientes constantes).
Procuro soluções da forma . A razão é que ao derivar
aparece novamente um múltiplo de
, o que transforma a EDO numa equação algébrica para
. Substituindo
na equação obtém-se a chamada equação característica:
Procuro soluções da forma
Aqui
é a incógnita da equação característica; cada raiz
gera uma solução exponencial
.
Passo 3
Resolver a equação característica.
A equação fatoriza-se facilmente:
A equação
portanto as raízes são
Passo 4
Escrever a solução geral.
Como as raízes são reais e distintas, a solução geral da EDO homogênea é a combinação linear das exponenciais correspondentes:
Como as raízes são reais e distintas, a solução geral da EDO homogênea é a combinação linear das exponenciais correspondentes:
onde
e
são constantes a determinar pelas condições iniciais.
Passo 5
Calcular a derivada
para aplicar as condições iniciais.
Usando a regra , tem-se
Usando a regra
Passo 6
Aplicar as condições iniciais
Isso dá um sistema linear em
:
Resolvo: da primeira equação
:
Então
Passo 7
Escrever a solução particular final e comentar.
Substituindo as constantes obtidas na solução geral:
Substituindo as constantes obtidas na solução geral:
Observações sobre o comportamento quando
: ambas as exponenciais
e
tendem a zero quando
. Como
domina assintoticamente (decai mais devagar que
), a solução tende a zero e o termo dominante para
grande é
. Portanto
quando
(decrescente exponencialmente, aproximando-se de
por valores positivos para
grande).