Encontre a solução do problema de valor inicial abaixo e descreva o que ocorre com a solução quando x \rightarrow \infty. \left\{\begin{array}{l}y^{\prime \prime}+3 y^{\prime}=0 \\\ y(0)=-2, y^{\prime}(0)=3\end{array}\right.
Passo 1
O problema nos dá o problema de valor inicial (peguei tudo do enunciado) e pede duas coisas:
Encontrar a solução y(x) da equação diferencial com as condições iniciais.
Descrever o que ocorre com a solução quando x \rightarrow \infty.
Ideia do método (explicação didática e passo a passo): para uma equação linear homogênea com coeficientes constantes do tipo
y''+3y'=0,
é usual tentar uma solução da forma \;y(x)=e^{r x}\;, onde r é um número a determinar. A razão é que derivadas de e^{r x} produzem fatores r que transformam a equação diferencial em uma equação algébrica para r (chamada equação característica). Isso reduz o problema de resolver uma ODE a resolver uma equação polinomial.
Explicando com calma: se y(x)=e^{r x}, então
y'(x)=r e^{r x},\qquad y''(x)=r^2 e^{r x}.
Substituindo na ODE, como e^{r x}\neq 0, pode-se dividir por e^{r x} e obter a condição sobre r.
Passo 3
Formação e solução da equação característica:
Substituindo a tentativa \;y=e^{r x}\; em \;y''+3y'=0\; dá
r^2 e^{r x} + 3 r e^{r x}=0 \quad\Longrightarrow\quad r^2+3r=0.
Comportamento quando x\rightarrow\infty (explicação didática):
A função e^{-3x} é uma exponencial decrescente positiva que satisfaz
\lim_{x\rightarrow\infty} e^{-3x}=0.
Como y(x)=-1-e^{-3x}, ao somar o termo que tende a zero obtemos
\lim_{x\rightarrow\infty} y(x) = -1 - 0 = -1.
Interpretação qualitativa: a solução tende assintoticamente para a constante -1. Além disso, como y'(x)=3 e^{-3x}>0 para todo x, a solução é crescente e sobe monotonamente de y(0)=-2 para o limite -1, aproximando-se de -1 exponencialmente rápido.