Encontre a solução do problema de valor inicial abaixo e descreva o que ocorre com a solução quando x \rightarrow \infty.
\left\{\begin{array}{l}y^{\prime \prime}+3 y^{\prime}=0 \\\ y(0)=-2, y^{\prime}(0)=3\end{array}\right.

Passo 1

O problema nos dá o problema de valor inicial (peguei tudo do enunciado) e pede duas coisas:
  • Encontrar a solução y(x) da equação diferencial com as condições iniciais.
  • Descrever o que ocorre com a solução quando x \rightarrow \infty.
Dados:
\begin{cases} y''+3y'=0,\\[4pt] y(0)=-2,\\[4pt] y'(0)=3. \end{cases}]

Passo 2

Ideia do método (explicação didática e passo a passo): para uma equação linear homogênea com coeficientes constantes do tipo
y''+3y'=0,
é usual tentar uma solução da forma \;y(x)=e^{r x}\;, onde r é um número a determinar. A razão é que derivadas de e^{r x} produzem fatores r que transformam a equação diferencial em uma equação algébrica para r (chamada equação característica). Isso reduz o problema de resolver uma ODE a resolver uma equação polinomial.
Explicando com calma: se y(x)=e^{r x}, então
y'(x)=r e^{r x},\qquad y''(x)=r^2 e^{r x}.
Substituindo na ODE, como e^{r x}\neq 0, pode-se dividir por e^{r x} e obter a condição sobre r.

Passo 3

Formação e solução da equação característica:
Substituindo a tentativa \;y=e^{r x}\; em \;y''+3y'=0\;
r^2 e^{r x} + 3 r e^{r x}=0 \quad\Longrightarrow\quad r^2+3r=0.
Resolver a equação algébrica:
r^2+3r=r(r+3)=0 \quad\Rightarrow\quad r=0 \quad\text{ou}\quad r=-3.
São duas raízes reais distintas. Para raízes reais distintas r_1,r_2 a solução geral da ODE homogênea é
y(x)=C_1 e^{r_1 x}+C_2 e^{r_2 x}.
Aqui r_1=0 e r_2=-3, logo a solução geral é
y(x)=C_1 e^{0\cdot x}+C_2 e^{-3x}=C_1 + C_2 e^{-3x},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias a determinar pelas condições iniciais.

Passo 4

Calcular a derivada para aplicar as condições iniciais:
A partir de
y(x)=C_1 + C_2 e^{-3x},
temos
y'(x)=0 + C_2\cdot(-3)e^{-3x}=-3C_2 e^{-3x}.
Agora aplicamos as condições em x=0:
y(0)=C_1 + C_2 = -2,
y'(0)=-3C_2 = 3.

Passo 5

Resolver o sistema para C_1,C_2:
Da segunda equação
-3C_2 = 3 \quad\Rightarrow\quad C_2=-1.
Substituindo na primeira:
C_1 + (-1) = -2 \quad\Rightarrow\quad C_1=-1.
Portanto as constantes são C_1=-1 e C_2=-1.

Passo 6

Escrever a solução particular encontrada e verificar rapidamente:
Substituindo C_1 e C_2 em y(x),
y(x) = -1 - e^{-3x}.
Verificação rápida das condições iniciais:
y(0)=-1- e^0 = -1-1=-2,
y'(x) = -3C_2 e^{-3x} = -3(-1)e^{-3x}=3 e^{-3x}\quad\Rightarrow\quad y'(0)=3 e^0=3.
As condições iniciais são satisfeitas.

Passo 7

Comportamento quando x\rightarrow\infty (explicação didática):
A função e^{-3x} é uma exponencial decrescente positiva que satisfaz
\lim_{x\rightarrow\infty} e^{-3x}=0.
Como y(x)=-1-e^{-3x}, ao somar o termo que tende a zero obtemos
\lim_{x\rightarrow\infty} y(x) = -1 - 0 = -1.
Interpretação qualitativa: a solução tende assintoticamente para a constante -1. Além disso, como y'(x)=3 e^{-3x}>0 para todo x, a solução é crescente e sobe monotonamente de y(0)=-2 para o limite -1, aproximando-se de -1 exponencialmente rápido.

Resposta

y(x)=-1-e^{-3x}
\displaystyle \lim_{x\to\infty}y(x)=-1

Exercícios relacionados