Encontre a solução do problema de valor inicial abaixo e descreva o que ocorre com a solução quando
.
Passo 1
O problema dado é o problema de valor inicial
O que se pede:
- Encontrar a solução
que satisfaz a equação diferencial e as condições iniciais. - Descrever o comportamento da solução quando
.]
Passo 2
Método: procurar soluções da forma exponencial
. Por que isso funciona? Porque para coeficientes constantes, derivadas de
são múltiplos de
, então a equação diferencial se reduz a uma equação algébrica para
.
Substituindo
na equação:
então
Dividindo por
(que nunca é zero) obtemos a equação característica
Passo 3
Resolver a equação quadrática
usando a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática):
Chamando as raízes de
e
:
Observe que
, logo
e
. Ambas as raízes são reais e negativas.
Passo 4
Quando as raízes são reais e distintas, a solução geral da equação homogênea é
onde
e
são constantes a determinar pelas condições iniciais. Aqui
e
são as raízes encontradas acima.
Passo 5
Calcular a derivada
para aplicar a condição inicial
:
Avaliar em
:
Temos, portanto, o sistema linear para
:
Passo 6
Resolver o sistema. Da primeira equação
. Substituindo na segunda:
Logo
Calcule
:
E como
, obtemos
Então
Passo 7
Agora escrevemos a solução explícita substituindo
e
:
Esta é a solução que satisfaz
e
.
Passo 8
Analisar o comportamento quando
.
As duas exponenciais
e
têm expoentes
e
negativos, portanto ambas tendem a zero quando
. Consequentemente
Além disso, como
(isto é,
é menos negativo), o termo com
decai mais lentamente e domina o comportamento assintótico; assim
e, como o coeficiente
é positivo,
tende a
por valores positivos (decai exponencialmente para
).