Encontre a solução do problema de valor inicial abaixo e descreva o que ocorre com a solução quando x \rightarrow \infty.
\left\{\begin{array}{l}y^{\prime \prime}+5 y^{\prime}+3 y=0 \\\ y(0)=1, y^{\prime}(0)=0\end{array}\right.

Passo 1

O problema dado é o problema de valor inicial
\begin{cases} y^{\prime\prime}+5y^{\prime}+3y=0,\\[4pt] y(0)=1,\quad y^{\prime}(0)=0. \end{cases}
O que se pede:
  • Encontrar a solução y(x) que satisfaz a equação diferencial e as condições iniciais.
  • Descrever o comportamento da solução quando x\to\infty.]

Passo 2

Método: procurar soluções da forma exponencial y(x)=e^{rx}. Por que isso funciona? Porque para coeficientes constantes, derivadas de e^{rx} são múltiplos de e^{rx}, então a equação diferencial se reduz a uma equação algébrica para r.
Substituindo y=e^{rx} na equação:
y' = r e^{rx},\qquad y'' = r^{2}e^{rx},
então
r^{2}e^{rx}+5r e^{rx}+3e^{rx}=0.
Dividindo por e^{rx} (que nunca é zero) obtemos a equação característica
r^{2}+5r+3=0.

Passo 3

Resolver a equação quadrática r^{2}+5r+3=0 usando a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática):
r=\frac{-5\pm\sqrt{5^{2}-4\cdot1\cdot3}}{2}=\frac{-5\pm\sqrt{25-12}}{2}=\frac{-5\pm\sqrt{13}}{2}.
Chamando as raízes de r_{1} e r_{2}:
r_{1}=\frac{-5+\sqrt{13}}{2},\qquad r_{2}=\frac{-5-\sqrt{13}}{2}.
Observe que \sqrt{13}\approx3{,}6055, logo r_{1}\approx-0{,}6972 e r_{2}\approx-4{,}3028. Ambas as raízes são reais e negativas.

Passo 4

Quando as raízes são reais e distintas, a solução geral da equação homogênea é
y(x)=C_{1}e^{r_{1}x}+C_{2}e^{r_{2}x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes a determinar pelas condições iniciais. Aqui r_{1} e r_{2} são as raízes encontradas acima.

Passo 5

Calcular a derivada y'(x) para aplicar a condição inicial y'(0)=0:
y'(x)=C_{1}r_{1}e^{r_{1}x}+C_{2}r_{2}e^{r_{2}x}.
Avaliar em x=0:
y(0)=C_{1}+C_{2}=1,
y'(0)=C_{1}r_{1}+C_{2}r_{2}=0.
Temos, portanto, o sistema linear para C_{1},C_{2}:
\begin{cases} C_{1}+C_{2}=1,\\[4pt] C_{1}r_{1}+C_{2}r_{2}=0. \end{cases}]

Passo 6

Resolver o sistema. Da primeira equação C_{2}=1-C_{1}. Substituindo na segunda:
C_{1}r_{1}+(1-C_{1})r_{2}=0 \quad\Rightarrow\quad C_{1}(r_{1}-r_{2})+r_{2}=0.
Logo
C_{1}=-\frac{r_{2}}{r_{1}-r_{2}}.
Calcule r_{1}-r_{2}:
r_{1}-r_{2}=\frac{-5+\sqrt{13}}{2}-\frac{-5-\sqrt{13}}{2}=\sqrt{13}.
E como r_{2}=\dfrac{-5-\sqrt{13}}{2}, obtemos
C_{1}=-\frac{\dfrac{-5-\sqrt{13}}{2}}{\sqrt{13}}=\frac{5+\sqrt{13}}{2\sqrt{13}}.
Então
C_{2}=1-C_{1}=1-\frac{5+\sqrt{13}}{2\sqrt{13}}=\frac{\sqrt{13}-5}{2\sqrt{13}}.

Passo 7

Agora escrevemos a solução explícita substituindo C_{1},C_{2} e r_{1},r_{2}:
y(x)=\frac{5+\sqrt{13}}{2\sqrt{13}}\,e^{\tfrac{-5+\sqrt{13}}{2}x}+\frac{\sqrt{13}-5}{2\sqrt{13}}\,e^{\tfrac{-5-\sqrt{13}}{2}x}.
Esta é a solução que satisfaz y(0)=1 e y'(0)=0.

Passo 8

Analisar o comportamento quando x\to\infty.
As duas exponenciais e^{r_{1}x} e e^{r_{2}x} têm expoentes r_{1} e r_{2} negativos, portanto ambas tendem a zero quando x\to\infty. Consequentemente
\lim_{x\to\infty}y(x)=0.
Além disso, como r_{1}>r_{2} (isto é, r_{1} é menos negativo), o termo com e^{r_{1}x} decai mais lentamente e domina o comportamento assintótico; assim
y(x)\sim\frac{5+\sqrt{13}}{2\sqrt{13}}\,e^{\tfrac{-5+\sqrt{13}}{2}x}\quad\text{quando }x\to\infty,
e, como o coeficiente \dfrac{5+\sqrt{13}}{2\sqrt{13}} é positivo, y(x) tende a 0 por valores positivos (decai exponencialmente para 0).

Resposta

y(x)=\frac{5+\sqrt{13}}{2\sqrt{13}}\,e^{\tfrac{-5+\sqrt{13}}{2}x}+\frac{\sqrt{13}-5}{2\sqrt{13}}\,e^{\tfrac{-5-\sqrt{13}}{2}x}
\lim_{x\to\infty}y(x)=0

Exercícios relacionados