Encontre a solução geral da equação não-homogênea abaixo e verifique:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a seguinte equação diferencial de segunda ordem:
Essa é uma equação não homogênea porque tem o termo
do lado direito. Para resolver, vamos precisar entender sobre equações diferenciais lineares e como encontrar a solução geral, que é a soma da solução da equação homogênea e uma solução particular da equação não homogênea.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para isso, assumimos que a solução tem a forma
, onde
é uma constante que vamos determinar. Substituindo na equação, temos:
Dividindo tudo por
(que nunca é zero), obtemos a equação característica:
Passo 3
Vamos resolver a equação característica:
Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Então, as raízes são:
Passo 4
Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
Onde
e
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais (se houver).
Passo 5
Agora, vamos encontrar uma solução particular (
) para a equação não homogênea:
Observamos que o termo do lado direito é
, que já aparece na solução homogênea. Isso significa que precisamos multiplicar nossa suposição por
para evitar duplicidade.
Vamos supor:
Onde
é uma constante que vamos determinar.
Passo 6
Vamos calcular as derivadas de
:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Passo 7
Substituindo
,
e
na equação original:
Simplificando:
Os termos com
se cancelam, sobrando:
Passo 8
Resolvendo para
:
Então, a solução particular é:
Passo 9
Finalmente, a solução geral da equação não homogênea é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Resposta
A solução geral da equação é: