Encontre a solução geral da equação não-homogênea abaixo e verifique:
y^prime prime-y^prime-2 y=2 e^-z

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a seguinte equação diferencial de segunda ordem:
y'' - y' - 2y = 2 e^-z
Essa é uma equação não homogênea porque tem o termo 2 e^-z do lado direito. Para resolver, vamos precisar entender sobre equações diferenciais lineares e como encontrar a solução geral, que é a soma da solução da equação homogênea e uma solução particular da equação não homogênea.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
y'' - y' - 2y = 0
Para isso, assumimos que a solução tem a forma y = e^rz, onde r é uma constante que vamos determinar. Substituindo na equação, temos:
r^2 e^rz - r e^rz - 2 e^rz = 0
Dividindo tudo por e^rz (que nunca é zero), obtemos a equação característica:
r^2 - r - 2 = 0

Passo 3

Vamos resolver a equação característica:
r^2 - r - 2 = 0
Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
r = 1 pm raiz1 + 82 = 1 pm 32
Então, as raízes são:
r1 = 2 e r2 = -1

Passo 4

Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
yh(z) = C1 e^2z + C2 e^-z
Onde C1 e C2 são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais (se houver).

Passo 5

Agora, vamos encontrar uma solução particular ( yp) para a equação não homogênea:
y'' - y' - 2y = 2 e^-z
Observamos que o termo do lado direito é 2 e^-z, que já aparece na solução homogênea. Isso significa que precisamos multiplicar nossa suposição por z para evitar duplicidade.
Vamos supor:
yp(z) = A z e^-z
Onde A é uma constante que vamos determinar.

Passo 6

Vamos calcular as derivadas de yp(z):
Primeira derivada:
yp' = A e^-z + A z (-e^-z) = A e^-z - A z e^-z
Segunda derivada:
yp'' = -A e^-z - A e^-z + A z e^-z = -2A e^-z + A z e^-z

Passo 7

Substituindo yp, yp' e yp'' na equação original:
(-2A e^-z + A z e^-z) - (A e^-z - A z e^-z) - 2(A z e^-z) = 2 e^-z
Simplificando:
-2A e^-z + A z e^-z - A e^-z + A z e^-z - 2A z e^-z = 2 e^-z
Os termos com z e^-z se cancelam, sobrando:
-3A e^-z = 2 e^-z

Passo 8

Resolvendo para A:
-3A = 2 implies A = -23
Então, a solução particular é:
yp(z) = -23 z e^-z

Passo 9

Finalmente, a solução geral da equação não homogênea é a soma da solução homogênea e da solução particular:
y(z) = yh(z) + yp(z) = C1 e^2z + C2 e^-z - 23 z e^-z

Resposta

A solução geral da equação é:
y(z) = C1 e^2z + C2 e^-z - 23 z e^-z

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