Encontre a solução do problema de valor inicial em cada item abaixo.
(a) y^prime=2 t-13 y^2-3, com y(1)=0.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial y'=2t-13y^2-3 com y(1)=0. Isso é uma EDO de variáveis separáveis, então vamos separar os termos em y e em t e depois integrar.

Passo 2

Para separar variáveis, começamos por multiplicar ambos os lados por 3y^2-3 e por dt, obtendo
3(y^2-1),dy = (2t-1),dt

Passo 3

Agora integramos ambos os lados. Do lado de y usamos integral(y^2-1)dy = tfracy^33-y e do lado de t usamos integral(2t-1)dt = t^2 - t:
integral 3(y^2-1),dy = integral (2t-1),dt Longrightarrow y^3 - 3y = t^2 - t + C

Passo 4

Aplicamos a condição inicial y(1)=0. Substituindo t=1 e y=0 na solução geral:
0^3 - 3cdot0 = 1^2 - 1 + C Longrightarrow C = 0

Passo 5

Portanto a solução do problema de valor inicial fica na forma implícita abaixo.

Resposta

y^3 - 3y = t^2 - t

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