Seja . Encontrar a direção no plano , na qual tem valor máximo.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a pergunta está pedindo. Temos um campo vetorial no plano XY dado por f(x, y) = 2x,i + y,j. A questão quer saber em qual direção, no plano XY, a derivada direcional de f no ponto (-1, 1) tem o valor máximo possível. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é derivada direcional e como ela se relaciona com o gradiente de uma função.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a derivada direcional de uma função vetorial em uma direção específica é uma medida de como a função muda nessa direção. Matematicamente, ela é calculada como o produto escalar do gradiente da função com um vetor unitário na direção desejada. Ou seja:
partial fpartial s = nabla f cdot u
Onde nabla f é o gradiente de f e u é o vetor unitário na direção considerada.
Passo 3
Vamos calcular o gradiente de f(x, y) = 2x,i + y,j. O gradiente é composto pelas derivadas parciais em relação a x e y:
nabla f = ( partial (2x)partial x, partial ypartial y ) = (2, 1)
Passo 4
Agora, queremos encontrar a direção u que maximiza o valor absoluto da derivada direcional no ponto (-1, 1). A derivada direcional máxima ocorre na direção do próprio gradiente. Portanto, a direção que maximiza |partial fpartial s| é a direção de nabla f.
Passo 5
Vamos normalizar o gradiente para obter o vetor unitário na direção desejada: