Seja f(x, y)=2 x i+y j. Encontrar a direção no plano x y, na qual |partial fpartial s(-1,1)| tem valor máximo.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a pergunta está pedindo. Temos um campo vetorial no plano XY dado por f(x, y) = 2x,i + y,j. A questão quer saber em qual direção, no plano XY, a derivada direcional de f no ponto (-1, 1) tem o valor máximo possível. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é derivada direcional e como ela se relaciona com o gradiente de uma função.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada direcional de uma função vetorial em uma direção específica é uma medida de como a função muda nessa direção. Matematicamente, ela é calculada como o produto escalar do gradiente da função com um vetor unitário na direção desejada. Ou seja:
partial fpartial s = nabla f cdot u
Onde nabla f é o gradiente de f e u é o vetor unitário na direção considerada.

Passo 3

Vamos calcular o gradiente de f(x, y) = 2x,i + y,j. O gradiente é composto pelas derivadas parciais em relação a x e y:
nabla f = ( partial (2x)partial x, partial ypartial y ) = (2, 1)

Passo 4

Agora, queremos encontrar a direção u que maximiza o valor absoluto da derivada direcional no ponto (-1, 1). A derivada direcional máxima ocorre na direção do próprio gradiente. Portanto, a direção que maximiza |partial fpartial s| é a direção de nabla f.

Passo 5

Vamos normalizar o gradiente para obter o vetor unitário na direção desejada:
u = nabla f|nabla f| = (2, 1)raiz2^2 + 1^2 = (2, 1)raiz5 = ( 2raiz5, 1raiz5 )

Passo 6

Portanto, a direção no plano XY onde a magnitude da derivada direcional de f no ponto (-1, 1) é máxima é dada pelo vetor unitário:
u = ( 2raiz5, 1raiz5 )

Resposta

A direção é dada pelo vetor unitário ( 2raiz5, 1raiz5 ).

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