Encontre a solução do problema de valor inicial em cada item abaixo.
© y^prime=2(1+x)(1+y^2), com y(0)=0.

Passo 1

O enunciado pede a solução do PVI y'=2(1+x)(1+y^2) com y(0)=0. O conteúdo aqui é EDO separável, então vamos usar separação de variáveis e integração.

Passo 2

Separamos as variáveis passando todos os termos em y para o lado esquerdo e todos os termos em x para o lado direito. Assim obtemos
dy1+y^2 = 2(1+x),dx

Passo 3

Integramos ambos os lados. No lado esquerdo temos
integraldy1+y^2 = arctan(y)
No lado direito
integral2(1+x),dx = 2x + x^2 + C
Logo
arctan(y) = x^2 + 2x + C

Passo 4

Aplicamos a condição inicial y(0)=0. Como arctan(0)=0, temos
0 = 0 + 0 + C implies C=0
Portanto
arctan(y) = x^2 + 2x
Isolando y:
y = tan(x^2 + 2x)

Resposta

y(x) = tan(x^2 + 2x)

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