Uma massa de 100 g estica uma mola 10 cm . A massa está presa a um amortecedor viscoso. Suponha que a aceleração da gravidade seja de
.
(a) Para quais valores da constante de amortecimento
o sistema é super-amortecido, tem um amortecimento crítico e é sub-amortecido?
(a) Para quais valores da constante de amortecimento
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. A gente tem uma massa de 100 g esticando uma mola 10 cm e essa massa tá ligada a um amortecedor viscoso. A gravidade tá com aceleração de
. O que a gente precisa descobrir é para quais valores da constante de amortecimento
o sistema vai estar super-amortecido, criticamente amortecido ou sub-amortecido. Para isso, vamos mexer um pouco com fórmulas de sistemas massa-mola-amortecedor e entender como a constante
influencia no comportamento do sistema.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir a constante elástica da mola,
. Sabemos que quando a mola está esticada pelo peso da massa, a força da mola é igual ao peso da massa. Isso pode ser representado pela fórmula:
Onde:
-
é a força (peso da massa), -
é a constante elástica da mola, -
é o alongamento da mola.
O peso
é dado por:
Onde:
-
(lembrando de converter para kg), -
(convertendo para m/s² para manter as unidades consistentes).
Substituindo:
Convertendo
para metros:
Então:
Passo 3
Agora vamos calcular a constante de amortecimento crítico,
. Essa constante é importante porque ela divide os diferentes regimes de amortecimento. A fórmula para
é:
Onde:
-
é a massa, -
é a constante da mola que acabamos de encontrar.
Substituindo os valores:
Passo 4
Agora, vamos comparar a constante de amortecimento
com a constante crítica
para determinar o comportamento do sistema:
- Super-amortecido (
): O sistema retorna ao equilíbrio sem oscilar, mas de forma mais lenta. - Amortecimento crítico (
): O sistema retorna ao equilíbrio da maneira mais rápida possível sem oscilar. - Sub-amortecido (
): O sistema oscila enquanto retorna ao equilíbrio.
Resposta
- Super-amortecido quando
- Amortecimento crítico quando
- Sub-amortecido quando